广东省佛山市顺德区2019-2020学年高三文数第二次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2020-07-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $R = 2 - \sqrt{2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1}$

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2. 复数 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2019} =$ （）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. 若 $\cos (α + \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（）

A、250 B、350 C、450 D、550

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5. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 3 \\ x - 4 y \geq - 2 \\ y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、18 B、8 C、5 D、 $- 22$

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6. 已知m，n是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，下列命题中正确的有（）
①若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

②若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ， $α \cap β = n$ ，则 $m / / n$

③若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$

④若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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7. 已知 $a = {0.5}^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{0.5}$ ， $c = \log_{0.5} 0.2$ ，则三者的大小关系正确的是（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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8. 函数 $f (x) = \frac{\sin x - x}{\cos x - x^{2}}$ 在 $[- π ， π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a \cos B + b \cos A = 3$ ，且 $\sin^{2} \frac{A + B}{2} = \frac{3}{4}$ ， $b = 3$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ ，其中 $ω > 0$ ，若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有2个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， \frac{5}{6})$ B、 $[\frac{5}{6} ， \frac{4}{3})$ C、 $[\frac{5}{6} ， \frac{11}{6})$ D、 $[\frac{4}{3} ， \frac{11}{6})$

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11. 过点 $P (- 1 ， 0)$ 的直线与圆 $E ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，设椭圆的右顶点为A，若四边形 $P M A N$ 为平行四边形，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{42}}{7}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1} - 2 \sin x + 3 x^{3}$ 在区间 $[- 2, 2]$ 的值域为 $[m, n]$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量， $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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14. 曲线 $y = (x - 1) e^{x}$ 在 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程为.

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15. 已知直线 $x - y - 2 = 0$ 过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为.

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点在球O的球面上，底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，侧棱长均为 $2 \sqrt{2}$ ，则球O的表面积为.

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三、解答题

17. 为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，有关部门通过随机抽样，得到如图1的频率分布直方图.

(1)、求a的值，并估计该市公益志愿者年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、根据世界卫生组织确定新的年龄分段，青年是指年龄15～44岁的年轻人.据统计，该市人口约为300万人，其中公益志愿者约占总人口的40%.试根据直方图估计该市青年公益志愿者的人数.

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18. 若椭圆 $Γ$ 的焦点在x轴上，离心率为 $\frac{3}{5}$ ，依次连接 $Γ$ 的四个顶点所得四边形的面积为40.

(1)、试求 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若曲线M上任意一点到 $Γ$ 的右焦点的距离与它到直线 $x = - 3$ 的距离相等，直线 $l_{1}$ 经过 $Γ$ 的下顶点和右顶点， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $l_{2}$ 与曲线M相交于点P、Q（点P在第一象限内，点Q在第四象限内），设 $Γ$ 的下顶点是B，上顶点是D，且 $\frac{S_{Δ P B D}}{S_{Δ Q B D}} = \frac{1}{4}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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19. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - x + a) \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点情况；

(2)、当 $a = 1$ 时，记 $F (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} - x$ 在 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 上的最小值为m，求证： $- \frac{5}{2} < m < - \frac{1}{2}$ .

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} - 2 t \\ y = 4 + \sqrt{3} t \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (1 + 3 \sin^{2} θ) = 4$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设点P为曲线C上的动点，点M，N为直线 $l$ 上的两个动点，若 $Δ P M N$ 是以 $∠ M P N$ 为直角的等腰三角形，求 $Δ P M N$ 直角边长的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = | a x + 1 | + | 2 x - 1 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、当 $a = 2$ 时，对任意 $x \in R$ ， $f (x) \geq c$ 恒成立，且当c取最大值时，正数m，n满足 $m + 2 n = c$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的取值范围.

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