2021高考一轮复习第五讲函数的单调性与最值

试卷更新日期：2020-07-20 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且在[－1，0]上单调递减，设 $a = f (- 2.8)$ ， $b = f (- 1.6)$ ， $c = f (0.5)$ ，则a、b，c大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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2. 设函数 $f (x) = \ln (1 + | x |) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，则使得 $f (x) > f (2 x - 1)$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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3. 若函数 $f (x) = | 2 x + a |$ 的单调递减区间是 $(- \infty ， 3]$ ，则a的值为（）

A、-3 B、3 C、-6 D、6

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4. 下列函数中是偶函数，且在 $（ 0 ， + \infty ）$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = - l g x^{2}$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = \sqrt{| x |}$

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5. 若函数 $f (x) = \log_{0.5} (x^{2} + 2 a x + 5 a)$ 在区间 $(- \infty ， - 2)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- 4 ， 2]$ C、 $[- 4 ， 2]$ D、 $(- 4 ， 2)$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、（-∞，0） B、(1，＋∞) C、(0，1) D、（0，＋∞）

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7. 若 $f (x) = - x^{2} + 2 a x$ 与 $g (x) = \frac{a}{x}$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上都是减函数，则a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cap (0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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8. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $f (x) = 2$ B、 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ C、 $f (x) = - x$ D、 $f (x) = - | x |$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x + 1$ 在 $(1 ， 3)$ 内不是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(2 ， 18)$ B、 $[2 ， 18]$ C、 $(- \infty ， 2] \cup [18 ， + \infty)$ D、 $[2 ， 18)$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x ， x \geq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} - 1 ， x < 2 \end{array}$ ，满足对任意的实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- \infty ， \frac{13}{8}]$ C、 $(- \infty ， \frac{13}{8})$ D、 $(- \infty ， 1)$

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11. 函数 $f (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ 是（）

A、奇函数，且在 $R$ 上是增函数 B、奇函数，且在 $R$ 上是减函数 C、偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 D、偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{3} ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (a) > f (b)$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{1}{a^{2} + 1} < \frac{1}{b^{2} + 1}$ B、 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ C、 $a^{2} < a b$ D、 $\ln (a^{2} + 1) > \ln (b^{2} + 1)$

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13. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，给出以下四个结论：
⑴ $f (x)$ 是偶函数；

⑵ $f (x)$ 的最大值为2；

⑶当 $f (x)$ 取到最小值时对应的 $x = 0$ ；

⑷ $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 单调递增，在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减.

正确的结论是（）

A、⑴ B、⑴⑵⑷ C、⑴⑶ D、⑴⑷

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14. 已知 $f (4 - x) = f (2 + x)$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty ， 3]$ 上单调递减， $f (0) = 0$ ，则 $f (2 - 3 x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3}) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 2)$ C、 $(- \frac{2}{3} ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}) \cup (\frac{2}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$ ，则 $f (x)$ 单调递增区间为；若函数 $y = f (| x |)$ 在区间 $(a ， 2 a + 3)$ 上单调，则 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m ， g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，若“对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 3]$ ，存在 $x_{2} \in [0 ， 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ”是真命题，则实数m的取值范围是.

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + 5 ， & x \leq 1 \\ \frac{3 a + 1}{x} ， & x > 1 \end{array}$ 是 $(- \infty ， + \infty)$ 上的减函数，那么a的取值范围为.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x < 0 \\ \log_{2} (x - a) ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (- 1) = f (1)$ ，则实数a=；若 $y = f (x)$ 存在最小值，则实数a的取值范围为.

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19. 函数 $f (x) = 9 x^{2} + \sqrt{x - 1}$ 的最小值为.

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20. 若函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2_{x}^{2} + m x - 3}$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

21. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 x - a | - 2 x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、令 $g (x) = f (x) + x^{2}$ ，若 $g (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 的最大值为 $5$ ，求a的值.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{a}{x} (a \in R)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， e]$ 上的最小值为2，求a的值．

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23. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = (x - a) | x - 1 |$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、函数 $f (x)$ 在 $[a - \sqrt{2} + 1 ， b]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$ ，求 $a$ ， $b$ 需要满足的条件．

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24. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} - x^{2} + 2 x ， x \geq 0 \\ a x^{2} + b x ， x < 0 \end{cases}$ 为奇函数．

(1)、求 $a - b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， m - 2]$ 上单调递增，求实数m的取值范围．

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2021高考一轮复习 第五讲 函数的单调性与最值

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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