广东省汕尾市海丰县2019-2020学年高一下学期数学”线上教育“教学质量监测试卷

试卷更新日期：2020-07-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，集合 $B = {x | 0 \leq x < 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x | 0 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 下列函数中，为奇函数的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = \sin x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = \lg x$

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3. $\tan \frac{2020}{3} π =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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4. $\cos 31^{\circ} \cos 29^{\circ} - \sin 31^{\circ} \cos 61^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} = 21$ ，则 $a_{2} + a_{3} + a_{5} + a_{6} =$ （）

A、12 B、24 C、42 D、48

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6. 已知 $Δ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 7$ ，则 $\cos C =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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7. 要得到函数 $y = \cos (3 x - \frac{π}{7})$ 的图象，只需将函数 $y = \cos 3 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{7}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{7}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{21}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{21}$ 个单位长度

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8. 已知G为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{D G} = - \frac{1}{2} \vec{A G}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$

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9. $\sqrt{3} \tan 87 ° \tan 33 ° - \tan 87 ° - \tan 33 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n + 1$ .若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} =$ （）

A、 $\frac{3 n}{12 n + 16}$ B、 $\frac{n}{12 n + 16}$ C、 $\frac{3 n}{3 n + 1}$ D、 $\frac{n}{3 n + 1}$

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二、多选题

11. 在 $Δ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论中正确的有（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $Δ A B C$ 是锐角三角形 C、 $a = b \cos C + ccos B$ D、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $Δ A B C$ 一定是等腰三角形

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12. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ，公比为q，其前n项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件： $a_{1} > 1$ ， $a_{2020} \cdot a_{2021} > 1$ ， $(a_{2020} - 1) (a_{2021} - 1) < 0$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $q > 1$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{2020} \cdot a_{2022} > 1$ D、 $T_{2020}$ 的值是 $T_{n}$ 中最大的

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三、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $C = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $A =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \ln x - {(\frac{1}{2})}^{x} + 5$ 的零点个数为.

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15. 已知函数 $f (x + 1)$ 为奇函数，函数 $g (x) = 4 \sin \frac{π}{2} x \cdot \cos \frac{π}{2} x + 1 (x \neq 1)$ .若函数 $y = f (x) + 1$ 与函数 $y = g (x)$ 的图象的交点坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，…， $(x_{2020}, y_{2020})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{2020} + y_{1} + y_{2}$ $+ \cdot \cdot \cdot + y_{2020} =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b = a \cos C + \frac{1}{2} c$ .

(1)、求 $\tan A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{31}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ .

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四、双空题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, t)$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ ，此时 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为.

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五、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{5} \sin (x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $(\frac{π}{3}, 2 \sqrt{5})$ .

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 9$ ， $S_{7} = 84$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{2} = \frac{2}{3} a_{2}$ ， $b_{5} = \frac{1}{3} a_{32}$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求 $b_{n}$ ， $T_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (α) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos (4 α - \frac{π}{3})$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (x + a) \cdot \log_{2} (4 x^{2})$ ，且 $f (2) = 2$ .

(1)、求a；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值.

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 4 - a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 3$ ，且 $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ .

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = n a_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值.

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