福建省福州市2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-20 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $\frac{π}{4}$ ， $- \frac{22}{7}$ ，2.02002， $\sqrt[3]{8}$ 中，无理数的是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $- \frac{22}{7}$ C、2.02002 D、 $\sqrt[3]{8}$

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2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算中，结果可以为 $3^{- 4}$ 的是（）

A、 $3^{2} \div 3^{6}$ B、 $3^{6} \div 3^{2}$ C、 $3^{2} \times 3^{6}$ D、 $(- 3) \times (- 3) \times (- 3) \times (- 3)$

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4. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）

A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

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5. 若 $a < \sqrt{28} - \sqrt{7} < a + 1$ ，其中a为整数，则a的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 $x$ ，买鸡的钱数为 $y$ ，可列方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 9 x + 11 = y \\ 6 x + 16 = y \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 9 x - 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 9 x + 11 = y \\ 6 x - 16 = y \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 9 x - 11 = y \\ 6 x + 16 = y \end{matrix}$

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7. 随机调查某市100名普通职工的个人年收入（单位：元）情况，得到这100人年收入的数据，记这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则a一定增大，那么对b与c的判断正确的是（）

A、b一定增大，c可能增大 B、b可能不变，c一定增大 C、b一定不变，c一定增大 D、b可能增大，c可能不变

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8. 若一个粮仓的三视图如图所示（单位：m），则它的体积（参考公式：圆锥： $V = \frac{1}{3} S h$ ，圆柱： $V = S h$ ）是（）

A、 $21 π m^{3}$ B、 $36 π m^{3}$ C、 $45 π m^{3}$ D、 $63 π m^{3}$

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 的中点，以C为圆心， $C E$ 长为半径作 $\overset{⌢}{E F}$ ，交 $C D$ 于点F，连接 $A E$ ， $A F$ ．若 $A B = 6$ ， $∠ B = 60 °$ ，则阴影部分的面积是（）

A、 $6 \sqrt{3} + 2 π$ B、 $6 \sqrt{3} + 3 π$ C、 $9 \sqrt{3} - 3 π$ D、 $9 \sqrt{3} - 2 π$

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10. 小明在研究抛物线 $y = - {(x - h)}^{2} - h + 1$ （ $h$ 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）

A、无论x取何实数，y的值都小于0 B、该抛物线的顶点始终在直线 $y = x - 1$ 上 C、当 $- 1 < x < 2$ 时，y随x的增大而增大，则 $h < 2$ D、该抛物线上有两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} > 2 h$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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二、填空题

11. 计算： $2^{- 1} + \cos 60 ° =$ ．

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12. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是．

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13. 一副三角尺如图摆放，D是 $B C$ 延长线上一点，E是 $A C$ 上一点， $∠ B = ∠ E D F = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ F = 45 °$ ，若 $E F$ ∥ $B C$ ，则 $∠ C E D$ 等于度．

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14. 若 $m (m - 2) = 3$ ，则 ${(m - 1)}^{2}$ 的值是．

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15. 如图，在 $⊙ O$ 中，C是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，作点C关于弦 $A B$ 的对称点D，连接 $A D$ 并延长交 $⊙ O$ 于点E，过点B作 $B F ⊥ A E$ 于点F，若 $∠ B A E = 2 ∠ E B F$ ，则 $∠ E B F$ 等于度．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $▱ A B C D$ 的顶点A，B分别在x，y轴的负半轴上，C，D在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上， $A D$ 与y轴交于点E，且 $A E = \frac{2}{3} A D$ ，若 $Δ A B E$ 的面积是3，则k的值是．

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x ⩽ 6 \\ \frac{3 x + 1}{2} > x \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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18. 如图，点E，F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

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19. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x + 1} \div \frac{1}{x + 1} - x + 1$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 1$ .

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20. 如图，已知 $∠ M O N$ ，A，B分别是射线 $O M$ ， $O N$ 上的点．

(1)、尺规作图：在 $∠ M O N$ 的内部确定一点C，使得 $B C // O A$ 且 $B C = \frac{1}{2} O A$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）中，连接 $O C$ ，用无刻度直尺在线段 $O C$ 上确定一点D，使得 $O D = 2 C D$ ，并证明 $O D = 2 C D$ ．

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21. 甲，乙两人从一条长为200m的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息．图1是甲出发后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位： $min$ ）的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离s（单位：m）与甲行走时间x（单位： $min$ ）的函数图象．

(1)、求甲，乙两人的速度；

(2)、求a，b的值．

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22. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案：一户家庭的月均用水量不超过m（单位：t）的部分按平价收费，超出m的部分按议价收费．为此拟召开听证会，以确定一个合理的月均用水量标准m．通过抽样，获得了前一年1000户家庭每户的月均用水量（单位：t），将这1000个数据按照 $0 \leq x < 4$ ， $4 \leq x < 8$ ，…， $28 \leq x < 32$ 分成8组，制成了如图所示的频数分布直方图．

(1)、写出a的值，并估计这1000户家庭月均用水量的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）

(2)、假定该市政府希望70%的家庭的月均用水量不超过标准m，请判断若以（1）中所求得的平均数作为标准m是否合理？并说明理由．

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23. 如图，在 $Rt Δ A B C$ 中， $A C < A B$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D，E是 $A C$ 的中点，连接 $E D$ ．点F在 $\overset{⌢}{B D}$ 上，连接 $B F$ 并延长交 $A C$ 的延长线于点G．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $A F$ ，求 $\frac{A F}{B G}$ 的最大值．

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24. 已知 $Δ A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，D是 $A B$ 边上一点，连接 $C D$ ，E是 $C D$ 上一点，且 $∠ A E D = 45 °$ ．

(1)、如图1，若 $A E = D E$ ，

①求证： $C D$ 平分∠ $A C B$ ；

②求 $\frac{A D}{D B}$ 的值；

(2)、如图2，连接 $B E$ ，若 $A E ⊥ B E$ ，求 $\tan ∠ A B E$ 的值．

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线C： $y = k x^{2} + (4 k^{2} - k) x$ 的对称轴是y轴，过点 $F (0 ， 2)$ 作一直线与抛物线C相交于P，Q两点，过点Q作x轴的垂线与直线 $O P$ 相交于点A．

(1)、求抛物线C的解析式；

(2)、判断点A是否在直线 $y = - 2$ 上，并说明理由；

(3)、若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．过抛物线C上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线 $y = 2$ 和直线 $y = - 2$ 于点M，N，求 $M F^{2} - N F^{2}$ 的值．

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