2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第14讲二次根式的四则运算

试卷更新日期：2020-07-18 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 二次根式：① $\sqrt{8}$ ； ② $\sqrt{2^{2}}$ ； ③ $\sqrt{18}$ ； ④ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、①和② B、①和③ C、②和④ D、③和④

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2. 下列二次根式： $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ， $\sqrt{0.03}$ ， $- 3 \sqrt{2 x^{2} y}$ ， $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ ， $\sqrt{15 a b}$ ，是最简二次根式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 计算： $\sqrt{\frac{a}{b}} \div \sqrt{a b} \cdot \sqrt{\frac{1}{a b}}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{a b^{2}} \sqrt{a b}$ B、 $\frac{1}{a b} \sqrt{a b}$ C、 $\frac{1}{b} \sqrt{a b}$ D、 $b \sqrt{a b}$

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4. 如果最简根式 $\sqrt[b - a]{3 b}$ 和 $\sqrt[]{2 b - a + 2}$ 是同类二次根式，那么a、b的值是（）

A、a＝0，b＝2 B、a＝2，b＝0 C、a＝－1，b＝1 D、a＝1，b＝－2

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5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 $16 c m^{2}$ 和 $24 c m^{2}$ 的两个小正方形，则余下部分的面积为（）

A、 $16 \sqrt{6} c m^{2}$ B、 $40 c m^{2}$ C、 $8 \sqrt{6} c m^{2}$ D、 $(2 \sqrt{6} + 4) c m^{2}$

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6. 设5﹣ $\sqrt{5}$ 的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（　　）

A、1+ $\sqrt{5}$ B、﹣1+ $\sqrt{5}$ C、﹣1﹣ $\sqrt{5}$ D、1﹣ $\sqrt{5}$

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7. 设 $\sqrt{5}$ =m， $\sqrt{7}$ =n，则 $\sqrt{0.056}$ 可以表示为（）

A、 $\frac{m n}{25}$ B、 $\frac{m n}{20}$ C、 $\frac{m n}{15}$ D、 $\frac{m n}{10}$

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8. 设a= $6 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ，b= $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，c= $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、b>c>a B、b>a>c C、c＞a＞b D、a＞c＞b

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9. 已知 $a + b = - 5$ ， $a b = 1$ ，则 $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、5

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10. 若0＜a＜1，则化简 $\sqrt{{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 4} + \sqrt{{(a + \frac{1}{a})}^{2} - 4}$ 的结果是（）

A、﹣2a B、2a C、﹣ D、

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11. △ABC的两边长分别为2和2 $\sqrt{3}$ ，第三边上的高等于 $\sqrt{3}$ ，则△ABC的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或2 $\sqrt{3}$ D、不能确定

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12. 已知 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{7}$ ，则 $x - \frac{1}{x}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、±2 C、± $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、填空题

13. 对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算如下： $a \otimes b = \sqrt{a b} (a - b)$ ，如 $3 \otimes 2 = \sqrt{3 \times 2} \times (3 - 2) = \sqrt{6}$ ，那么812的运算结果为．

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14. 比较大小：2 $\sqrt{3}$ 3 $\sqrt{2}$ ；若 $\sqrt{12 n}$ 是正整数，则整数n的最小值为；已知 $\sqrt{20 a}$ 是整数，则满足条件的最小正整数a的值是.

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15. 已知：m+n＝10，mn＝9，则 $\frac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$ ＝．

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16. 观察分析下列数据，寻找规律：0，- $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{10}$ ，- $\sqrt{15}$ ，2 $\sqrt{5}$ ，-5， $\sqrt{30}$ ，…则第100个数据应是．

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17. 若 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ =3﹣x，则化简 $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25}$ ﹣ $\sqrt{x^{2} - 14 x + 49}$ = ．

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18. 已知a+b=﹣5，ab=2，且a≠b，则化简b $\sqrt{\frac{b}{a}}$ +a $\sqrt{\frac{a}{b}}$ = ．

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19. 已知x= $\sqrt{2011} - \sqrt{2012}$ ，y= $\sqrt{2012} - \sqrt{2013}$ ，则x与y之间的大小关系是．

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20. 已知a、b为有理数，m、n分别表示 $5 - \sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，且amn+bn²=1，则2a+b= ．

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三、解答题

21. 计算

(1)、 $3 \sqrt{18} + \frac{1}{5} \sqrt{50} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $9 \sqrt{\frac{1}{45}} \div \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{5}} \times (- \frac{1}{2} \sqrt{2 \frac{2}{3}})$

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22. 求 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ 的值.
解：设x= $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，两边平方得： $x^{2} = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} + 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}$ ，即 $x^{2} = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} + 4$ ，x²=10

∴x= $\pm \sqrt{10}$ .

∵ $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ＞0，∴ $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ = $\sqrt{10}$ .

请利用上述方法，求 $\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ 的值.

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23. 现有一块长为 $7.5 d m$ 、宽为 $5 d m$ 的木板，能否在这块木板上截出两个面积是 $8 d m^{2}$ 和 $18 d m^{2}$ 的正方形木板？

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24. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠B=45°， $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $C D = \sqrt{3}$ ．求四边形ABCD的面积．

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25. 如图，B地在A地的正东方向，两地相距 $28 \sqrt{2}$ km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？

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26. 有一辆装货的汽车，为了使一批货物进入车厢，使用了如图所示的架子．已知AC的3.0m，BC=1.0m．

(1)、求AB的长为多少？（提示：AC²+BC²=AB²）

(2)、如果架子的宽为2m，那么想在这个架子的四周包括地面包一层铁皮，至少需要多少m²的铁皮？

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27. 阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

例如：化简 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．

解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2} + 1$ 得： $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ．

(1)、类比应用：
Ⅰ.化简： $\frac{1}{2 \sqrt{3} - \sqrt{11}} =$ ；

Ⅱ.化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{8}} =$ ．

(2)、拓展延伸：

宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．

Ⅰ.黄金矩形ABCD的长BC= ▲ ；

Ⅱ.如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

Ⅲ.在图②中，连结AE ，则点D到线段AE的距离为 ▲ ．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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