苏教版高中数学必修一3.4.2函数模型及其应用

试卷更新日期：2020-07-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知函数f(x)= $\{\begin{matrix} 2^{x - 1}, x \leq 1 \\ - \log_{2} (x + 1), x > 1 \end{matrix}$ ,且f(a)=-3, 则f(6-a)=( )

A、 $- \frac{7}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} ， x \leq 0 \\ 1 ， x > 0 \end{matrix}$ ，则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是（）

A、(-∞，-1] B、(0，+∞) C、(-1，0) D、(-∞，0)

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4. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y= $e^{k x + b}$ （e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0℃的保鲜时间设计192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时.（）

A、16小时 B、20小时 C、24小时 D、21小时

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5. 三个变量 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 随着变量 $x$ 的变化情况如下表：
$x$
$1$
$3$
$5$
$7$
$9$
$11$
$y_{1}$
$5$
$135$
$625$
$1 715$
$3 645$
$6 655$
$y_{2}$
$5$
$29$
$245$
$2 189$
$19 685$
$177 149$
$y_{3}$
$5$
$6.10$
$6.61$
$6. 985$
$7.2$
$7.4$
则关于 $x$ 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为（）

A、 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ B、 $y_{2}$ ， $y_{1}$ ， $y_{3}$ C、 $y_{3}$ ， $y_{2}$ ， $y_{1}$ D、 $y_{1}$ ， $y_{3}$ ， $y_{2}$

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6. 某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（）

A、50元 B、60元 C、70元 D、100元

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7. 某医药研究所研发出一种新药，成年人按规定的剂量服用后，据检测，每毫升血液中的含药量y（mg）与时间t（h）之间的关系如图所示．据进一步测定，当每毫升血液中的含药量不少于0.25mg时，治疗疾病有效，则服药一次，治疗疾病有效的时间为（）

A、4 h B、4 $\frac{7}{8}$ h C、4 $\frac{15}{16}$ h D、5 h

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8. 甲、乙两个工厂2015年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2016年1月份的产值又相等，则2016年7月份产值（）

A、甲厂高 B、乙厂高 C、甲、乙两厂相等 D、甲、乙两厂高低无法确定

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9. 如图，直线 $A B$ 与单位圆相切于点 $O$ ，射线 $O P$ 从 $O A$ 出发，绕着点 $O$ 逆时针旋转，在旋转的过程中，记 $∠ A O P = x$ （ $0 < x < π$ ）， $O P$ 所经过的单位圆 $O$ 内区域（阴影部分）的面积为 $S$ ，记 $S = f (x)$ ，则下列选项判断正确的是（）

A、当 $x = \frac{3 π}{4}$ 时， $S = \frac{3 π}{4} - \frac{1}{2}$ B、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， π)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、对任意 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，都有 $f (\frac{π}{2} - x) + f (\frac{π}{2} + x) = π$ D、对任意 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，都有 $f (x + \frac{π}{2}) = f (x) + \frac{π}{2}$

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10. 某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x ，则可列方程为（）

A、95=15（1+x）² B、15（1+x）³=95 C、15（1+x）+15（1+x）²=95 D、15+15（1+x）+15（1+x）²=95

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11. 幂函数y=x^α ，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x^α ， y=x^β的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

12. 以下是三个变量y₁ ， y₂ ， y₃随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y₁
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y₂
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y₃
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是．

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13. 设常数k＞1，函数y=f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{1 - x^{2}} - x ， 0 \leq x < 1 \\ k f (x - 1) - k x ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则f（x）在区间[0，2）上的取值范围为．

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14. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为元．

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三、解答题

15. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．

(1)、求y关于x的函数；

(2)、若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．

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16. 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ $\frac{1}{2}$ x²（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．

(1)、将利润表示为产量的函数；

(2)、年产量是多少时，企业所得利润最大？

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17. 某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为 $P = \frac{1}{4} t + 30$ ，销售量Q（kg）与时间t（天）的函数关系式为Q=﹣2t+120．
（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？
（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1kg水果就捐赠n（n∈N）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间t（t∈N）的增大而增大，求捐赠额n的值．

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18. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就减少5件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？最大利润是多少？

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19. 我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ $\frac{8}{x}$ （千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．

(1)、求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N^*）的函数关系；

(2)、若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？

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20. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 $x % (0 < x < 100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
$f (x) = {\begin{cases} 30 ， \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} 0 < x \leq 30 ， \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} 30 < x < 100 \end{cases}$ （单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)、当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)、求该地上班族S的人均通勤时间 $g （ x ）$ 的表达式；讨论 $g （ x ）$ 的单调性，并说明其实际意义。

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21. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣ $\frac{3}{x}$ ）元．

(1)、要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)、要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

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22. 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）²+ $\frac{b}{x - 1}$ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= $\frac{2800}{x}$ ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．

(1)、求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；

(2)、若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（ $\sqrt{7}$ ≈2.65）

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23.
某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；
（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？

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24. 某林场去年年末有森林木材量为a，木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x．从今年起，为了实现到第20年年末木材的存有量达到4a的目标，则x的最大值是多少？（取lg2=0.30）

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25.
某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y=k•a^t（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）

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$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$
$y_{1}$	$5$	$135$	$625$	$1 715$	$3 645$	$6 655$
$y_{2}$	$5$	$29$	$245$	$2 189$	$19 685$	$177 149$
$y_{3}$	$5$	$6.10$	$6.61$	$6. 985$	$7.2$	$7.4$

x	1	2	3	4	5	6	7	8	…
y₁	2	4	8	16	32	64	128	256	…
y₂	1	4	9	16	25	36	49	64	…
y₃	0	1	1.585	2	2.322	2.585	2.807	3	…