苏教版高中数学必修一3.4.1函数与方程

试卷更新日期：2020-07-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = e^{x - 1} + x - 3$ 的零点所在的区间是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x}$ 的零点所在区间为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 函数 $f (x) = \frac{π}{2} + {log}_{2} x$ 的零点所在的区间是（）

A、 $（ 0, \frac{1}{4} ）$ B、 $（ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} ）$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ D、 $（ \frac{3}{4}, 1 ）$

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4. 函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 3$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(1 ， \frac{3}{2})$

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5. 设a，b∈R ，函数f（x）= ${\begin{cases} x ， x < 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + a x ， x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（）

A、a＜-1，b＜0 B、a＜-1，b>0 C、 a＞-1，b＞0 D、a>-1，b>0

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6. 若函数f（x）=alog₂（|x|+4）+x²+a²﹣8有唯一的零点，则实数a的值是（）

A、﹣4 B、2 C、±2 D、﹣4或2

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 - e^{x} ， x \leq 0 ， \\ x^{2} - 2 x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有两个不同的零点，则 $m$ 的取值范围（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（ $\frac{1}{2}$ ，1） C、（1，2） D、（2，+∞）

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9. 用二分法找函数f（x）=2^x+3x﹣7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）

A、（0，1） B、（0，2） C、（2，3） D、（2，4）

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10. 方程 ${log}_{4} x + x = 7$ 的解所在区间是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数f（x）=ax³﹣3x²+1，若f（x）存在唯一的零点x₀ ，且x₀＞0，则实数a的取值范围是（）

A、（1，+∞） B、（2，+∞） C、（﹣∞，﹣1） D、（﹣∞，﹣2）

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12. 实数a，b定义运算“ $\otimes$ ”； $a \otimes b = {\begin{array}{l} b ， a \geq b \\ a ， a < b \end{array}$ ，设 $f (x) = (x^{2} - 1) \otimes (x + 5)$ ，若函数 $y = f (x) + k$ 至少有两个零点，则k的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $(- 3 ， 1]$ C、 $[- 3 ， 1)$ D、 $（ - 3 ， 1 ）$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} l n x ， x > 0 \\ x (x + 1) ， x \leq 0 \end{matrix}$ 的零点个数是；其所有零点之和为．

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14. 函数f(x)＝ax²＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为．

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15. 设 $f (x) ， g (x)$ 是定义在R上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数.当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = {\begin{cases} k (x + 2) ， 0 < x \leq 1 \\ - \frac{1}{2} ， 1 < x \leq 2 \end{cases}$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} + 1 ， x \geq 1 \\ \frac{3 x}{2} ， 0 < x < 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有两不同的零点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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17. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 a x + a ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 a x - 2 a ， x > 0. \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x$ 恰有2个互异的实数解，则 $a$ 的取值范围是.

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18. 已知函数f（x）=kx，g（x）= $\frac{l n x}{x}$ ，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[ $\frac{1}{e}$ ，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是．

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三、解答题

19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 3 (m + 1) x + n$ 的零点是 $1$ 和 $2$ ，求函数 $y = {log}_{n} (m x + 1)$ 的零点．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (k - 2) x + k^{2} + 3 k + 5$ 有两个零点．

(1)、若函数的两个零点是 $- 1$ 和 $- 3$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若函数的两个零点是 $α$ 和 $β$ ，求 $α^{2} + β^{2}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 6$ .

(1)、证明 $f (x)$ 有且只有一个零点；

(2)、求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 $\frac{1}{4}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{2 x} + 1) + a x$ ．

(1)、若f（x）是定义在R上的偶函数，求实数a的值；

(2)、在（1）的条件下，若g（x）=f（x）﹣2，求函数g（x）的零点．

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23. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4$ ，在下列条件下，求实数 $a$ 的取值范围．

(1)、零点均大于 $1$ ；

(2)、一个零点大于 $1$ ，一个零点小于 $1$ ；

(3)、一个零点在 $(0 ， 1)$ 内，另一个零点在 $(6 ， 8)$ 内．

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24. 已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．

(1)、若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；

(2)、当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；

(3)、若函数F（x）=a^f^（^x^）+tx²﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．

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