天津市河西区2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 一定（）

A、相等 B、平行 C、方向相同 D、长度相等

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2. 若复数 $z = (x^{2} - 1) + (x - 1) i$ 为纯虚数，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、0 C、-1 D、-1或1

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3. 在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：

观看场数	0	1	2	3	4	5	6	7
观看人数占调查人数的百分比	8%	10%	20%	26%	m%	12%	6%	2%

从表中可以得出正确的结论为（）

A、表中m的数值为8 B、估计观看比赛不低于4场的学生约为360人 C、估计观看比赛不低于4场的学生约为720人 D、估计观看比赛场数的众数为2

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4. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设=E“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（）

A、 $E \cup F$ B、 $E \cap F$ C、 $E \cap \bar{F}$ D、 $\bar{E} \cup \bar{F}$

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5. 若 $a, b \in R, i$ 为虚数单位，且 $(a + i) i = b + i$ ，则（）

A、 $a = 1, b = 1$ B、 $a = - 1, b = 1$ C、 $a = 1, b = - 1$ D、 $a = - 1, b = - 1$

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6. 小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）

A、30% B、10% C、3% D、不能确定

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7. 设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）

A、事件A⊆B，则P（A）＜P（B） B、若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C、若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 D、P（A）+P（B）≤1

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8. 设在 $Δ A B C$ 中,角 $A ， B, C$ 所对的边分别为 $a ， b, c$ , 若 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ , 则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，且向量m $\vec{a} -$ 3 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} +$ （2﹣m） $\vec{b}$ 共线，则实数m的值为（）

A、﹣1或3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣1或4 D、3或4

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二、填空题

10. i是虚数单位，复数 $\frac{6 + 7 i}{1 + 2 i}$ = ．

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11. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生．

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12. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为．

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13. 在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B= $\frac{π}{6^{}}$ ，c=2 $\sqrt{3}$ ，则b=

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14. 已知 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2 π}{3}$ 的两个单位向量， $\overset{⇀}{a}$ ＝ $\overset{⇀}{e_{1}}$ －2 $\overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ＝k $\overset{⇀}{e_{1}}$ ＋ $\overset{⇀}{e_{2}}$ ，若 $\overset{⇀}{a}$ · $\overset{⇀}{b}$ ＝0，则实数k的值为．

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15. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $AB=AD = 1$ .若点E为 $D C$ 上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25，30]
3
0.12
（30，35]
5
0.20
（35，40]
8
0.32
（40，45]
n₁
f₁
（45，50]
n₂
f₂

(1)、确定样本频率分布表中n₁ ， n₂ ， f₁和f₂的值；

(2)、根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)、根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．

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17. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：

(1)、任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；

(2)、任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．

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18. 在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b $= \sqrt{2}$ ，c＝2，解这个三角形．

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19. 已知 $\vec{O P} =$ （2，1）， $\vec{O A} =$ （1，7）， $\vec{O B} =$ （5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）

(1)、求使 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 取到最小值时的 $\vec{O C}$ ；

(2)、根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．

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20. 设z₁是虚数，z₂＝z₁ $+ \frac{1}{z_{1}}$ 是实数，且﹣1≤z₂≤1．

(1)、求|z₁|的值以及z₁的实部的取值范围；

(2)、若ω $= \frac{1 - z_{1}}{1 + z_{1}}$ ，求证ω为纯虚数；

(3)、求z₂﹣ω²的最小值．

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分组	频数	频率
[25，30]	3	0.12
（30，35]	5	0.20
（35，40]	8	0.32
（40，45]	n₁	f₁
（45，50]	n₂	f₂