天津市河东区2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{5}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 下列各式化简正确的是（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O D} + \vec{D A} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} + \vec{M B} + \vec{B O} + \vec{O M} = \vec{A B}$ C、 $\vec{A B} - \vec{C B} + \vec{A C} = \vec{0}$ D、 $0 \cdot \vec{A B} = 0$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 1)$ ，则 $\vec{b} - \vec{a} =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(2 ， - 1)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(4 ， 3)$

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4. 下列命题中正确的有（）
①一个棱柱至少有5个平面；②正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；③有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台；④正方形的直观图是正方形；

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a} + 5 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{B C} = - 2 \overset{⇀}{a} + 8 \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{C D} = 3 (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则（）

A、 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线 B、 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点共线 D、 $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos A = \frac{4}{5}, b = 2, S_{△ A B C} = 3$ ，则边 $a$ 为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、 $5$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\frac{\sqrt{97}}{4}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，向量 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 满足 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、三边不等的三角形

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $B = 30 ° ， b = \sqrt{2} ， c = 2$ ，则角A为（）

A、 $15 °$ B、 $45 °$ C、 $15 °$ 或 $105 °$ D、 $45 °$ 或 $135 °$

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9. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为1，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} + \vec{C A} \cdot \vec{A B} + \vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10. 如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm，那么石凳的体积是（）

A、 $144000 c m^{3}$ B、 $180000 c m^{3}$ C、 $36000 c m^{3}$ D、 $72000 c m^{3}$

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二、填空题

11. 计算复数 $\frac{7 + i}{3 + 4 i} =$ .

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12. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为.

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13. 等腰直角三角形直角边长为2，以斜边所在直线为轴旋转，其余各边旋转一周形成几何体，则该几何体的体积为.

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14. 如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为米．

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15. 在复平面内，复数 $5 - \sqrt{2}$ 与 $- 3 + 2 i$ 对应的向量分别是 $\vec{O A}, \vec{O B}$ ，其中 $O$ 是原点，则向量 $\vec{B A}$ 的坐标为.

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16. 平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 两两夹角都相等，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1, | \vec{c} | = 2$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} | =$ .

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三、解答题

17. 当实数m取什么值时，复数 $Z = m^{2} - 4 + (m^{2} - m - 6) i$ 分别满足下列条件？

(1)、复数Z实数；

(2)、复数Z纯虚数；

(3)、复平面内，复数Z对应的点位于直线 $y = - x$ 上.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (4, 1)$ , $\vec{b} = (- 5, 2)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b})$ $//$ $(m \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数m的值；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (m \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $m$ 的值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C = b$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3} - 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为2，求边 $b, c$ 的值.

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20. 已知 $\overset{⇀}{e_{1}}, \overset{⇀}{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的单位向量，且 $\overset{⇀}{a} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} + \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{b} = - 3 \overset{⇀}{e_{1}} + 2 \overset{⇀}{e_{2}}$ ．

(1)、求 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ；

(2)、求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ ．

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21. 在海岸A处，发现北偏东 $45 °$ 方向，距离 $A$ 为 $\sqrt{3} - 1$ 海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西 $75 °$ 方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以 $10 \sqrt{3}$ 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从 $B$ 处向北偏东 $30 °$ 方向逃窜.

(1)、问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？

(2)、问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.

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