天津市和平区2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (x, - 3)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、-1 C、-9 D、9

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2. 若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 1, (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}, (2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b},$ 则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 4)$ ， $| \vec{c} | = \sqrt{5}$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \frac{5}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $120^{\circ}$

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4. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩: (单位:分) 78、70、72、86、88、79、80、81、94、84、56、98、83、90、91，则这15人成绩的第80百分位数是（）

A、90 B、91.5 C、91 D、90.5

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5. 已知 $a, b, c$ 分别是 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的的对边，若 $\frac{c}{b} < \cos A$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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6. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $\vec{e}$ 是与向量 $(\vec{a} + \vec{b})$ 方向相同的单位向量，则 $\vec{a}$ 在向量 $(\vec{a} + \vec{b})$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{3} \vec{e}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{e}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7} \vec{e}$ D、 $\frac{5 \sqrt{7}}{7} \vec{e}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $a^{2} - b^{2} = \sqrt{3} b c$ ， $\sin C = 2 \sqrt{3} \sin B$ ，则 A= （）

A、30° B、60° C、45° D、150°

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8. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若M、N分别是边 $A D 、 CD$ 上的点，且满足 $\frac{M D}{A D} = \frac{N C}{D C} = λ$ ，其中λ∈[0，1]，则 $\overset{\overset{}{\to}}{A N} • \overset{\overset{}{\to}}{B M}$ 的取值范围是（）

A、[﹣3，﹣1] B、[﹣3，1] C、[﹣1，1] D、[1，3]

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二、双空题

9. 已知复数 $z = 1 - 2 i$ ，则复数 $\frac{1}{z}$ 的模为；复数 $\frac{1}{z}$ 的虚部为.

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10.

(1)、已知 $△ A B C$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = - 3$ ，则 $A =$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 中， $A = 60^{\circ}$ ， $B C = \sqrt{7}$ ， $A C = 2$ ， $A C$ 边上的高等于.

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三、填空题

11. 某射击选手连续射击5枪命中环数分别为9.7、9.9、10.1、10.2.10.1，则这组数据的方差为．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 A B = 2$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $O$ 是 $B C$ 的中点， $M$ 是 $A O$ 上一点，且 $\vec{A O} = 3 \vec{M O}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的值是.

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四、解答题

13. 一个袋中有4个大小之地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，连续取两次.

(1)、设 $(i, j)$ 表示先后两次所取到的球，试写出所有可能抽取结果；

(2)、求连续两次都取到白球的概率；

(3)、若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次球所得总分数大于2分的概率.

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14. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c.已知 $2 cos C (a cos B + b cos A) = c$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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15. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $[70 ， 80)$ 、 $[80 ， 90)$ 、 $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图，已知得分在 $[50 ， 60)$ 、 $[90 ， 100]$ 的频数分别为8、2.

(1)、求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

(2)、估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.

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16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天 $7 : 30$ 之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$ .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(1)、设甲同学上学期间的三天中 $7 : 30$ 之前到校的天数为 $X$ ，求 $X = 0$ ， $X = 1$ ， $X = 2$ ， $X = 3$ 时的概率 $P (X = 0)$ ， $P (X = 1)$ ， $P (X = 2)$ ， $P (X = 3)$ ；

(2)、设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 $7 : 30$ 之前到校的天数比乙同学在 $7 : 30$ 之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

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