山西省永济市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 与角 $520 °$ 终边相同的角是（）

A、 $- 520 °$ B、 $- 160 °$ C、 $160 °$ D、 $700 °$

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2. 若 $\cos (α - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (π + α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{1}{\sin^{2} α - \cos^{2} α} =$ （）

A、-5 B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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5. 已知扇形的圆心角为 $60 °$ ，面积为 $\frac{π}{6}$ ，则该扇形的周长为（）

A、 $2 + \frac{π}{3}$ B、 $1 + \frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3} + 1$ D、 $\frac{2 π}{3} + 2$

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6. 在 $Δ A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ， $D E / / B C$ ，且与边 $A C$ 相交于点E， $Δ A B C$ 的中线 $A M$ 与 $D E$ 相交于点N，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{3}{8} (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $- \frac{3}{8} (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $- \frac{3}{4} (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $- \frac{3}{4} (\vec{a} - \vec{b})$

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7. 已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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8. 函数 $f (x) = \sin^{2} x + \cos x$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列关于函数 $y = 1 - 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{6})$ 的说法正确的是（）

A、最小正周期是 $2 π$ B、在区间 $[π ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递减 C、图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称 D、图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 成轴对称

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10. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2} < β < π$ ，若 $\tan α$ ， $\tan β$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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11. 若点 $A (\frac{π}{6}, - 1)$ ， $B (\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ ， $C (\frac{π}{6}, 1)$ 中只有一个点在函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象上，为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{5}) (x \in R)$ 的图象，只需把曲线 $f (x)$ 上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{60}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{60}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{30}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{30}$ 个单位长度

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12. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，点E，F分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，如果对于常数 $λ$ ，在正方形 $A B C D$ 的四条边上，有且只有8个不同的点 $P$ ，使得 $\vec{P E} \cdot \vec{P F} = λ$ 成立，那么 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 4]$ D、 $(0 ， 4)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 函数 $y = \ln (\tan x)$ 的定义域是.

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ ，则 $| \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sin x - \cos x$ ， $x \in [0, π]$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 求值：

(1)、 $\sin 25 ° \sin 215 ° - \sin 245 ° \cos 35 °$ ；

(2)、 $\frac{\tan (- \frac{3 π}{4}) + \tan \frac{7 π}{12}}{1 - \tan \frac{7 π}{12}}$ .

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18. 在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A (0, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (3, 2)$ ， $D (1, 2)$ .

(1)、判断四边形 $A B C D$ 的形状；

(2)、若 $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，求向量 $\vec{E B}$ 与 $\vec{E C}$ 夹角的余弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x | \cos x |$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性和周期性；

(2)、若 $f (x) = 1$ ，求x的取值集合.

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20. 在等腰直角 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，设 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{D E}$ ；

(2)、在 $A C$ 边上是否存在点 $F$ ，使得 $D F ⊥ E F$ ，若存在，确定点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化，变化由线为 $y = \sin ω x$ .根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置），已知小英的生日是2003年3月20日（每年按365天计算）.

(1)、请写出小英的体力、情绪和智力节律曲线的函数；

(2)、试判断小英在2019年4月22日三种节律各处于什么阶段，当日小英是否适合参加某项体育竞技比赛？

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22. 已知向量 $\vec{a} = (m \sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x, m \sin x)$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\tan x = \frac{1}{4}$ ，求实数m的值；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，若 $f (x) \geq - \frac{1}{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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