江苏省扬州市宝应县2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 经过点（1，﹣2）且与直线2x+3y＝1垂直，则l的方程为（）

A、2x+3y+4＝0 B、2x+3y﹣8＝0 C、3x﹣2y﹣7＝0 D、3x﹣2y﹣1＝0

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2. 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于xOy平面的对称点的坐标是（）

A、(－2，1，－4) B、(－2，－1，－4) C、(2，－1，4) D、(2，1，－4)

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b = 2 c cos A$ ，则这个三角形一定是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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4. 若圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 关于直线 $2 x - y + a = 0$ 对称，则a的值为（）

A、-3 B、-1 C、0 D、4

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5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东 $60 °$ ，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东 $15 °$ ，这时船与灯塔的距离为（） $k m$ ．

A、15 B、 $30 \sqrt{6}$ C、 $15 \sqrt{6}$ D、 $30 \sqrt{2}$

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6. 下列命题中，m，n表示两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 表示三个不同的平面．正确的命题是（）
$①$ 若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ ； $②$ 若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ ；

$③$ 若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ ； $④$ 若 $α / / β$ ， $β / / γ$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ γ$ ．

A、 $① ③$ B、 $② ③$ C、 $① ④$ D、 $② ④$

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7. 在 $Δ A B C$ 中， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = \sqrt{10}$ ， $\cos A = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、10 D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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8. 两平行直线 $k x + 6 y + 2 = 0$ 与 $4 x - 3 y + 4 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、1 D、 $\frac{6}{5}$

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9. 已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 a y = 0 (a > 0)$ 截直线 $x + y = 0$ 所得线段的长度是 $2 \sqrt{2}$ ，则圆M与圆N：（x-1）²+（y-1）²=1的位置关系是（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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二、多选题

10. 如图所示，P为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 $O ， M$ 为 $P B$ 的中点，给出以下结论，其中正确的是（）

A、 $O M / / P D$ B、 $O M / /$ 平面 $P C D$ C、 $O M / /$ 平面 $P D A$ D、 $O M / /$ 平面 $P B A$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A、 $b = 10, A = 45 °, C = 70 °$ B、 $b = 45, c = 48, B = 60 °$ C、 $a = 14, b = 16, A = 45 °$ D、 $a = 7, b = 5, A = 80 °$

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12. 已知点 $P (\cos θ ， \sin θ) (θ \in R)$ ，直线 $l ： x + m y - 4 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $l$ 恒过定点 $(4 ， 0)$ B、 $| O P | = 1$ （ $O$ 为坐标原点） C、 $P$ 到直线 $l$ 的距离有最小值，最小值为3 D、 $P$ 到直线 $l$ 的距离有最大值，最大值为5

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三、填空题

13. 已知球O的表面积是其半径的 $6 π$ 倍，则该球的体积为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．若 $b = 1, c = \sqrt{3}, ∠ C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $a$ ＝.

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15. 经过点 $(3, - 4)$ 且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为.

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16. 圆心在直线 $y = - 4 x$ ，且与直线 $x + y - 1 = 0$ 相切于点 $P (3 ， - 2)$ 的圆的标准方程为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，且 $(2 c - b) \cos A - a \cos B = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求a的值．

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18. 如图所示，已知 $△ A B C$ 是以AB为底边的等腰三角形，点 $A (1 ， 4)$ ， $B (3 ， 2)$ ，点C在直线： $x - 2 y + 6 = 0$ 上．

(1)、求AB边上的高CE所在直线的方程；

(2)、设直线CD与y轴交于点 $D (0 ， 3)$ ，求 $△ A C D$ 的面积．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ， $A D ∥ B C$ ， $P D ⊥ P B$ ， $A D = 1$ ， $B C = 3$ ， $C D = 4$ ， $P D = 2$ .
（I）求异面直线 $A P$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

（II）求证： $P D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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20. 如图，直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ， $B C = \sqrt{2} A B$ ，点D是 $B C$ 中点．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(3)、求二面角 $A - A_{1} B - D$ 的余弦值．

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21. 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形 $O A B$ 的半径为200米，圆心角 $∠ A O B = 60 °$ ，点Q在 $O A$ 上，点 $M ， N$ 在 $O B$ 上，点 $P$ 在弧 $A B$ 上，设 $∠ P O B = θ$ .

(1)、若矩形 $M N P Q$ 是正方形，求 $\tan θ$ 的值；

(2)、为方便市民观赏绿地景观，从 $P$ 点处向 $O A ， O B$ 修建两条观赏通道 $P S$ 和 $P T$ （宽度不计），使 $P S ⊥ O A$ ， $P T ⊥ O B$ ，其中 $P T$ 依 $P N$ 而建，为让市民有更多时间观赏，希望 $P S + P T$ 最长，试问：此时点 $P$ 应在何处？说明你的理由.

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22. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 相切．

(1)、求圆O的方程；

(2)、若过点 $(- 1 ， 3)$ 的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程；

(3)、若过点 $A (0 ， \sqrt{5})$ 作两条斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的直线交圆O于B、C两点，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．

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