江苏省徐州市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. sin45°cos15°+cos45°sin15°的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D_{1}$ 与 $B_{1} C$ 是（）

A、相交直线 B、平行直线 C、异面直线 D、相交且垂直的直线

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3. 已知：α，β均为锐角，tanα $= \frac{1}{2}$ ，tanβ $= \frac{1}{3}$ ，则α+β＝（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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4. 在△ABC中，已知a＝6，b＝8，C＝60°，则△ABC的面积为（）

A、24 B、12 $\sqrt{3}$ C、6 $\sqrt{2}$ D、12

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5. 若 $α, β \in (0, π)$ ， $\cos (α - \frac{β}{2}) = - \frac{12}{13}$ ， $\sin (\frac{α}{2} - β) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin \frac{α + β}{2} =$ （）

A、 $\frac{33}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{63}{65}$ D、 $- \frac{63}{65}$

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6. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB＝b，则△ABC一定是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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7. 若tanα＝2，则2cos²α+sin2α＝（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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8. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、2

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二、多选题

9. 下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、2sin15°cos15° B、 $\frac{1 + t a n 15 °}{2 (1 - t a n 15 °)}$ C、1﹣2sin²15° D、 $\frac{3 t a n 15 °}{1 - t a n^{2} 15 °}$

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10. 根据下列条件解三角形，有两解的有（）

A、已知a $= \sqrt{2}$ ，b＝2，B＝45° B、已知a＝2，b $= \sqrt{6}$ ，A＝45° C、已知b＝3，c $= \sqrt{3}$ ，C＝60° D、已知a＝2 $\sqrt{3}$ ，c＝4，A＝45°

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11. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $E ， F ， G ， H$ 分别是 $A B ， B C ， C D ， D A$ 上的点，当 $B D / /$ 平面 $E F G H$ 时，下面结论正确的是（）

A、 $E ， F ， G ， H$ 一定是各边的中点 B、 $G ， H$ 一定是 $C D ， D A$ 的中点 C、 $A E ： E B = A H ： H D$ ，且 $B F ： F C = D G ： G C$ D、四边形 $E F G H$ 是平行四边形或梯形

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12. 在 $△ A B C$ 中， $C = 120 °$ ， $\tan A + \tan B = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，下列各式正确的是（）

A、 $A + B = 2 C$ B、 $\tan (A + B) = - \sqrt{3}$ C、 $\tan A = \tan B$ D、 $\cos B = \sqrt{3} \sin A$

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三、填空题

13. 已知α为第二象限的角，sinα $= \frac{4}{5}$ ，则tan2α＝.

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14. 如图所示，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁的中点，则异面直线EF与B₁D₁所成的角为.

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15. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则C=.

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16. 已知： $- \frac{π}{12} < α < \frac{5 π}{12}$ ，cos（α $+ \frac{π}{12}$ ） $= \frac{3}{5}$ ，则cos（α $- \frac{π}{4}$ ）＝.

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四、解答题

17. △ABC三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足 $\sqrt{3}$ csinA＝acosC．

(1)、求角C的大小；

(2)、若b $= \sqrt{3}$ ，c $= \sqrt{11}$ ，求a.

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18. 已知函数f（x）＝cos²x+sinxcosx $- \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、若x∈[ $\frac{π}{24}$ ， $\frac{7 π}{24}$ ]，求函数f（x）的取值范围.

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19. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，E，F分别为A₁C₁和BC的中点，M，N分别为A₁B和A₁C的中点.求证：

(1)、MN∥平面ABC；

(2)、EF∥平面AA₁B₁B．

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20. 已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ $= - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ .

(1)、求tan（α+β）的值；

(2)、求2α﹣β的值.

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21. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.

(1)、若∠ABC＝30°，求DC；

(2)、记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.

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22. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形 $A B C D$ 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将 $B D$ 连接，设 $Δ A B D$ 中边 $B D$ 所对的角为 $A$ ， $Δ B C D$ 中边 $B D$ 所对的角为 $C$ ，经测量已知 $A B = B C = C D = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、霍尔顿发现无论 $B D$ 多长， $\sqrt{3} \cos A - \cos C$ 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；

(2)、霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记 $Δ A B D$ 与 $Δ B C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值.

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