江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知三边a、b、c满足 $a^{2} - \sqrt{3} a b = c^{2} - b^{2}$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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3. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（）

A、 $\frac{7 π}{2}$ B、 $56 π$ C、 $14 π$ D、 $64 π$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知AB＝4，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、8 $\sqrt{3}$

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5. 已知直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 与直线 $2 \sqrt{3} x + t y + 4 = 0$ 平行，则t的值是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、4

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6. 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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7. 已知直线 $l_{1} ： y = k x + b$ ， $l_{2} ： y = b x + k$ ，则它们的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 $π : 4$ ，若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（）

A、 $18 \sqrt{3}$ B、18 C、6 D、 $\frac{128}{3}$

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二、多选题

9. 已知 $m, n$ 表示直线， $α, β$ 表示平面，下列正确的是（）

A、 $α / / β, m \subset α, n \subset β \Rightarrow m / / n$ B、 $α ⊥ β, n / / α, m ⊥ β \Rightarrow n ⊥ m$ C、 $m / / n, m ⊥ α \Rightarrow n ⊥ α$ D、 $m / / n, m / / α \Rightarrow n / / α$ 或 $n \subset α$

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10. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、 $a = 8, b = 16, A = 30^{\circ}$ ，有两解 B、 $b = 18, c = 20, B = 60^{\circ}$ ，有两解 C、 $a = 5, c = 2, A = 90^{\circ}$ ，无解 D、 $a = 30, b = 25, A = 150^{\circ}$ ，有一解

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11. 下列说法正确的是（）

A、若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直 B、若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行 C、垂直于同一直线的两条直线相互平行 D、若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直

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12. 下列说法中，正确的有（）

A、过点 $P (1, 2)$ 且在x，y轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、直线 $y = 3 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为-2 C、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60 °$ D、过点 $(5, 4)$ 并且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程为 $x - 5 = 0$

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三、填空题

13. 过点 $(- 1, 2)$ ，且斜率为2的直线方程是．

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14. △ABC中，已知AB＝1，AC＝2， $A = \frac{π}{3}$ ，点D为BC边的中点，则AD= ．

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15. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 4$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角为．

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16. 数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点 $B (- 1, 0), C (0, 3), A B = A C$ ，则△ABC的欧拉线方程为

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四、解答题

17. 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.

(1)、求BC的长；

(2)、求sin C的值.

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18. 如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠ABC＝ $\frac{π}{2}$ ，M是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB₁＝1.

(1)、求证：AB₁ $//$ 平面BC₁M

(2)、求异面直线AB₁与BC₁所成角的大小．

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19. 已知△ABC的顶点为 $A (0, 4), B (1, - 2), C (- 3, - 4)$ ．

(1)、求BC边上的中线AM所在的直线方程；

(2)、求AB边上的高所在的直线方程．

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20. 据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

(1)、试计算出图案中圆柱与球的体积比；

(2)、假设球半径 $r = 12 c m$ ．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.

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21. 风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？

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22. 已知直线l： $(1 + 2 m) x + (m - 1) y + 7 m + 2 = 0$

(1)、求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；

(2)、过定点M作一条直线 $l_{1}$ ，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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