天津市河东区2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $2 - b i (b \in R)$ 的实部与虚部之和为零，则b的值为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、-2

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2. i为虚数单位，若复数 $(1 + m i) (1 + i)$ 是纯虚数，则实数m=（）

A、-1 B、0 C、1 D、0或1

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3. 下列式子错误的是（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ C、 $(2 ln x)^{'} = \frac{2}{x}$ D、 ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$

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4. 设 $f (x) = ln (2 x - 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、 $\frac{e + 1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{4}$

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5. 若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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6. 复数 $z = \frac{4 + 3 i}{i}$ ，则 $| z | = ($ $)$

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、5 D、25

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7. 设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图像如图所示，则导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{6}) \sin x + \cos x$ ，则 $f (\frac{π}{6})$ 的值为（）

A、1 B、2 C、-2 D、-1

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9. 设 $f (x)$ 是定义在［－1，1］上的可导函数， $f (0) = 0$ ，且 $f^{'} (x) = 2 + x^{2}$ ，则不等式 $f (a) + f (1 - 2 a) > 0$ 的解集为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $[0 ， 1)$

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二、填空题

10. 已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $i^{2021} =$ .

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11. 设 $z_{1} = - 6 - 2 i, z_{2} = 6 - 18 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.若 $z = z_{1} + z_{2}$ ，则 $z$ 在复平面上对应点的坐标为.

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12. 已知函数 $y = \sin x$ 在区间 $[0, \frac{π}{6}]$ ， $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ 上的平均变化率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，那么 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的大小关系为.

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13. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是.

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14. 函数 $f (x) = \ln x + x^{2}$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处切线方程为．

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15. 已知函数f（x）=x（x﹣c）²在x=2处有极小值，则实数c的值为

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三、解答题

16. 已知复数 $z = \frac{a}{1 + 2 i} + i (i$ 为虚数单位）．

(1)、若 $z \in R$ ，求 $z$ ；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限，求 $a$ 的取值范围．

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17. 求下列函数的导数：

(1)、 $y = x^{2} \log_{2} (3 x)$

(2)、 $y = \frac{\cos (2 x + 1)}{x}$

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18. 函数 $f (x) = a \ln x - b x^{2}$ 上一点 $P (2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 2 \ln 2 + 2$ ，求 $a ， b$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - 1$ .

(1)、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) + \frac{1}{2} (3 x^{2} - 2 x - 2 k) \leq 0$ 有解，求 $k$ 的取值范围.

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20. 已知函数f（x）＝lnx $- \frac{a (x - 1)}{x + 2}$ ．

(1)、若a＝4，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；

(3)、若x₁、x₂∈R⁺ ，且x₁≤x₂ ，求证：（lnx₁﹣lnx₂）（x₁+2x₂）≤3（x₁﹣x₂）．

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