河北省邢台市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $\frac{z}{i} = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则 $p =$ （）

X

0

1

2

3

P

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

P

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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3. ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、-40 B、40 C、-80 D、80

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4. 已知函数 $f (x) = \tan x + 1$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数，则 $f^{'} (\frac{π}{4}) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 某同学在书店发现4本各不相同的辅导书，决定至少购买其中2本，则不同的购买方案有（）

A、8种 B、10种 C、11种 D、12种

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6. 设服从二项分布 $B (n, p)$ 的随机变量X的期望与方差分别是10和8，则 $n ， p$ 的值分别是（）

A、 $50, \frac{1}{5}$ B、 $60, \frac{1}{5}$ C、 $50, \frac{4}{5}$ D、 $60, \frac{4}{5}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，若 $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 3 △ x) - f (x_{0} - △ x)}{△ x} = 1$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{4}$

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8. 某射击运动员击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，他连续射击2次，且各次射击是否击中目标相互没有影响.现有下列结论：①他第2次击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ；②他恰好击中目标1次的概率是 $\frac{2}{9}$ ；③他至少击中目标1次的概率是 $\frac{8}{9}$ .其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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9. 已知复数 $z$ 的实部为1，虚部的绝对值为3，则下列说法错误的是（）

A、 $z + \frac{10}{z}$ 是实数 B、 $z + \frac{10}{z} < 2$ C、 $z + \frac{10}{z} > 1$ D、 $\bar{z}$ 在复平面中所对应的点不可能在第三象限

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10. 已知 $(3 - x) {(2 x - 3)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} {(x - 1)}^{9}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、-1792 B、1792 C、-5376 D、5376

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11. 包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（）

A、240种 B、252种 C、264种 D、288种

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12. 已知对任意实数x都有 $f^{'} (x) = 3 e^{x} + f (x)$ ， $f (0) = - 1$ ，若不等式 $f (x) < a (x - 2)$ （其中 $a > 0$ ）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3 e} ， \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{4}{3 e} ， 1)$ C、 $[\frac{7}{4 e^{2}} ， \frac{4}{3 e})$ D、 $[\frac{7}{4 e^{2}} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 设随机变量 $X ~ N (3, 4)$ ，且 $P (X > 2) = 0.7$ ，则 $P (X \geq 4) =$ .

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14. 已知线性相关的变量 $x$ 与 $y$ 的部分数据如表所示：

x

2

4

5

6

8

y

3

4.5

m

7.5

9

若其回归直线方程是 $\hat{y} = 1.05 x + 0.85$ ，则 $m =$ .

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15. 某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入 $R (x)$ （万元）满足 $R (x) = - \frac{1}{8} x^{3} + \frac{9}{8} x^{2} + \frac{1}{2} x$ （其中x是该产品的月产量，单位：百台， $0 < x < 8$ ），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为百台时，公司所获利润最大..

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三、双空题

16. 设随机变量 $X$ 的分布列如下：

X

0

1

2

P

$2 p + \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} - p$

$\frac{1}{3} - p$

若 $p \geq \frac{1}{5}$ ，则 $E (X)$ 的最大值是， $D (X)$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 今年消毒液和口罩成了抢手年货，老百姓几乎人人都需要,但对于 $N 95$ 这种口罩，大多数人不是很了解.现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人，在接受调查的40人中，对于 $N 95$ 这种口罩了解的占50%，其中45岁以上（含45岁）的人数占 $\frac{1}{4}$ .
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$

$0.10$

$0.05$

$0.010$

$0.001$

$k_{0}$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、将答题卡上的列联表补充完整；

(2)、判断是否有99%的把握认为对 $N 95$ 这种口罩的了解与否与年龄有关.

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18. 已知复数 $z_{1} = 1 + (5 - a^{2}) i$ ， $z_{2} = a i (a > 0)$ ， $2 {\bar{z}}_{1} + z_{2} \in R$ .

(1)、求实数a的值；

(2)、设 $z_{1} ， z_{2} ， z_{1} - z_{2}$ 在复平面上对应点分别为 $A ， B ， C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + a x + b$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 12 x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的极值.

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20. 某校医务室欲研究昼夜温差大小与高三患感冒人数多少之间的关系，他们统计了2019年9月至2020年1月每月8号的昼夜温差情况与高三因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期	2019年9月8日	2019年10月8日	2019年11月8日	2019年12月8日	2020年1月8日
昼夜温差 $x (℃)$	5	8	12	13	16
就诊人数y	10	16	26	30	35

该医务室确定的研究方案是先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.假设选取的是2019年9月8日与2020年1月8日的2组数据.

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求就诊人数y关于昼夜温差

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

（结果精确到0.01）

(2)、若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过3人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该医务室所得线性回归方程是否理想？

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ .

(1)、若曲线 $f (x)$ 存在与 $y$ 轴垂直的切线，求 $a$ 的取值范围.

(2)、当 $a \geq 1$ 时，证明： $f (x) ⩾ 1 + x - \frac{3}{2} x^{2}$ .

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22. 甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙投篮一次命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若甲、乙各投篮三次，设X为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.

(1)、若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率；

(2)、求X的分布列及数学期望.

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$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.001$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	P

x	2	4	5	6	8
y	3	4.5	m	7.5	9

X	0	1	2
P	$2 p + \frac{1}{3}$	$\frac{1}{3} - p$	$\frac{1}{3} - p$