江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $x + y = 5$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 已知 $x \in (\frac{π}{2}, π)$ 且 $\cos 2 x = \frac{7}{25}$ ，则 $\cos x$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知直线 $l_{1} : a x + (a + 2) y + 2 = 0$ 与 $l_{2} : x + a y + 1 = 0$ 平行，则实数a的值为（）

A、－1或2 B、0或2 C、2 D、－1

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4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点 $P (m, n)$ 的坐标，那么点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 内部的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a = 1, B = 45^{\circ}$ ， $S_{Δ A B C} = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆直径为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、5 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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7. 一个样本a,3,4,5,6的平均数是b，且不等式x²－6x＋c＜0的解集为(a，b)，则这个样本的标准差是（ )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 已知直线 $l$ ： $(a - 1) x + (2 a + 1) y - 7 a - 2 = 0 (a \in R)$ 和圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 11 = 0$ ，给出下列说法：①直线l和圆C不可能相切；②当 $a = - 1$ 时，直线l平分圆C的面积；③若直线l截圆C所得的弦长最短，则 $a = \frac{1}{4}$ ；④对于任意的实数 $d (2 \sqrt{11} \leq d < 8)$ ，有且只有两个 $a$ 的取值，使直线l截圆C所得的弦长为d.其中正确的说法个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、多选题

9. 在下列四个命题中，错误的有（）

A、坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B、直线的倾斜角的取值范围是 $[0 ， π)$ C、若一条直线的斜率为 $\tan α$ ，则此直线的倾斜角为 $α$ D、若一条直线的倾斜角为 $α$ ，则此直线的斜率为 $\tan α$

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10. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A、事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B、事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C、事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D、事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

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11. 已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形 C、若 $b \cos C + c \cos B = b$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 D、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形

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12. 已知圆 $M$ ： ${(x - \cos α)}^{2} + {(y + \sin α)}^{2} = 1$ ，直线 $l$ ： $y = k x$ ，以下结论成立的是（）

A、存在实数k与 $α$ ，直线l和圆M相离 B、对任意实数k与 $α$ ，直线l和圆M有公共点 C、对任意实数k，必存在实数 $α$ ，使得直线l和圆M相切 D、对任意实数 $α$ ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切

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三、填空题

13. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的 $\frac{1}{5}$ ，则中间一组的频数为.

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14. 若三点A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为．

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15. 已知点 $P (0 ， 2)$ 为圆 $C ： {(x - a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 2 a^{2}$ 外一点，若圆C上存在一点Q，使得 $∠ C P Q = 30^{\circ}$ ，则正数A的取值范围是．

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四、双空题

16. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设 $B = 2 A$ ，则角A的取值范围是； $\frac{b}{a}$ 的取值范围是.

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五、解答题

17. 一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.

(1)、从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.

(2)、从盒中任取一球，记下该球的编号 $a$ ，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号 $b$ ，求 $| a - b | \geq 2$ 的概率.

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18. 已知函数f(x)= $\sin (2 x - \frac{π}{3}) + \cos (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \cos^{2} x - 1$

(1)、求函数f(x)的最小正周期；

(2)、若α∈ $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ,且f(α)= $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ,求 $\cos 2 α$

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19. 已知两直线 $l_{1}$ ： $a x - b y + 4 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(a - 1) x + y + b = 0.$ 求分别满足下列条件的a，b的值．

(1)、直线 $l_{1}$ 过点 $(- 3, - 1)$ ，并且直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 垂直；

(2)、直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 平行，并且坐标原点到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离相等．

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 3$ ， $\sqrt{7} \sin B + \sin A = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求边长c.

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21. 某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩分布直方图如下，已知分数在100～110的学生数有21人．

（Ⅰ）求总人数N和分数在110～115分的人数n；

（Ⅱ）现准备从分数在110～115分的n名学生（女生占 $\frac{1}{3}$ ）中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；

（Ⅲ）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩．

数学	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \dots ， (u_{n} ， v_{n}) ，$ 其回归线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} ， \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ．

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴负半轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴相交于点 $B$ .

(1)、若过点 $C (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若在以 $B$ 为圆心半径为 $r$ 的圆上存在点 $P$ ，使得 $P A = \sqrt{2} P O$ ( $O$ 为坐标原点)，求 $r$ 的取值范围；

(3)、设 $M (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 是圆 $O$ 上的两个动点，点 $M$ 关于原点的对称点为 $M_{1}$ ，点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $M_{2}$ ，如果直线 $Q M_{1} 、 Q M_{2}$ 与 $y$ 轴分别交于 $(0 ， m)$ 和 $(0 ， n)$ ，问 $m \cdot n$ 是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

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