河北省邢台市四校2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-15 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{5} = 40, S_{9} = 126$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、66 B、68 C、77 D、84

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2. 在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边， $\cos A = \frac{4}{5}, b = 2$ ， $Δ A B C$ 面积 $S = 3$ ，则a为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $\sqrt{17}$

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3. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A$ 的平分线 $A D = 1$ ，则 $Δ A B C$ 的面积（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$

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4. 已知不等式 $a x^{2} - b x - 1 \geq 0$ 的解集是 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}]$ ，则不等式 $x^{2} - b x - a < 0$ 的解集是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 2) \cup (3 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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5. 若正实数a，b满足a+b=1，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最大值4 B、ab有最小值 $\frac{1}{4}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \frac{3}{2^{2}}, \frac{1}{2^{3}}, \frac{3}{2^{3}}, \frac{5}{2^{3}} \frac{7}{2^{3}}, ..., \frac{1}{2^{n}}, \frac{3}{2^{n}}, \frac{5}{2^{n}}, ...$ ，则该数列第2019项是（）

A、 $\frac{1989}{2^{10}}$ B、 $\frac{2019}{2^{10}}$ C、 $\frac{1989}{2^{11}}$ D、 $\frac{2019}{2^{11}}$

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7. 若点 $M (a, \frac{1}{b})$ 和 $N (b, \frac{1}{c})$ 都在直线 $l : x + y = 1$ 上，又点 $P (c, \frac{1}{a})$ 和点 $Q (\frac{1}{c}, b)$ ，则（）

A、点P和Q都不在直线 $l$ 上 B、点P和Q都在直线 $l$ 上 C、点P在直线 $l$ 上且Q不在直线 $l$ 上 D、点P不在直线 $l$ 上且Q在直线 $l$ 上

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8. 点 $P (2 ， 3)$ 到直线： $a x + (a - 1) y + 3 = 0$ 的距离d最大时，d与a的值依次为（）

A、3，－3 B、5，2 C、5，1 D、7，1

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9. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏

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10. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比 $q > 1$ ，若 $a_{3} + a_{5} = 5$ ， $a_{1} \cdot a_{7} = 4$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，则当 $\frac{S_{1}}{1} + \frac{S_{2}}{2} + \dots + \frac{S_{n}}{n}$ 取最小值时， $n$ 的值为（）

A、4 B、6 C、4或5 D、5或6

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二、多选题

11. 在公比 $q$ 为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{4} = 18$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 510$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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12. 在三角形 $A B C$ 中，下列命题正确的有（）

A、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 5$ ，则三角形 $A B C$ 有两解 B、若 $0 < \tan A \cdot \tan B < 1$ ，则 $Δ A B C$ 一定是钝角三角形 C、若 $\cos (A - B) \cos (B - C) \cos (C - A) = 1$ ，则 $Δ A B C$ 一定是等边三角形 D、若 $a - b = c \cdot \cos B - c \cdot \cos A$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是等腰或直角三角形

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} : x + m y + 7 = 0$ 与 $l_{2} : (m - 2) x + 3 y + \frac{7}{3} m = 0$ 互相平行，则实数m的值为

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14. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2020}}$ = ．

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15. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b^{2} - a^{2} = {(a \cos B + b \cos A)}^{2}$ ， $Δ A B C$ 的周长为 $5 (\sqrt{2} + 1)$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为.

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16. 已知x、y都为正数，且 $x + y = 4$ ，若不等式 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} > m$ 恒成立，则实数m的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过点 $P$ （－2，5），且斜率为 $- \frac{3}{4}$

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ 与 $l$ 平行，且点 $P$ 到直线 $m$ 的距离为3，求直线 $m$ 的方程.

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18. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，已知 $a \cos A = R$ ，其中R为 $△ A B C$ 外接圆的半径， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ ，其中S为 $△ A B C$ 的面积．

(1)、求 $\sin C$ ；

(2)、若 $2 \sin A \cos C = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 是以2为首项，2为公比的等比数列，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ $(n \in N^{*})$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 6 > 4$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$ .

(1)、求 $a ， b$ ；

(2)、解关于x的不等式 $a x^{2} - (a c + b) x + b c < 0$

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = n^{2} + 4 n (n \in N^{*})$ .

(1)、证明数列 ${n a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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22. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为 $\frac{π}{3} (∠ A C B = \frac{π}{3})$ ，墙 $A B$ 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记 $∠ A B C = θ$

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长（结果精确到0.01米）；

(2)、为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积， $Δ A B C$ 的面积尽可能大，当 $θ$ 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.

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