天津市和平区2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2}$ 的结果等于（）

A、－4 B、4 C、12 D、－12

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2. $2 \sin 60 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 2016年某市用于资助贫困学生的助学金总额是9680000元，将9680000用科学记数法表示为（）

A、96.8×10⁵ B、9.68×10⁶ C、9.68×10⁷ D、0.968×10⁸

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5. 如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $3 \sqrt{5}$ 的值在（）

A、5和6之间 B、6和7之间 C、7和8之间 D、8和9之间

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7. 化简 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$ 的结果是（）

A、x+1 B、 $\frac{1}{x + 1}$ C、x﹣1 D、 $\frac{x}{x - 1}$

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8. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 2 \\ b x + a y = - 3 \end{array}$ 的解，则 $a + b$ 的值是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣5 D、5

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9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、6 C、4 D、5

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10. 反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ 图象上有三个点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ 是 $B C$ 边上的一点，以 $A B$ 为直径在正方形内作半圆 $O$ ，将 $Δ D C E$ 沿着 $D E$ 翻折，点 $C$ 恰好落在半圆 $O$ 上的点 $F$ 处，则 $C E$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 已知二次函数 $y_{1} = m x^{2} + 4 m x - 5 m$ $(m \neq 0)$ ，一次函数 $y_{2} = 2 x - 2$ ，
有下列结论：

①当 $x > - 2$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而减小；

②二次函数 $y_{1} = m x^{2} + 4 m x - 5 m$ $(m \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交点的坐标为 $(- 5 ， 0)$ 和 $(1 ， 0)$ ；

③当 $m = 1$ 时， $y_{1} \leq y_{2}$ ；

④在实数范围内，对于 $x$ 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 $y_{2} \leq y_{1}$ 均成立，则 $m = \frac{1}{3}$ .

其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 计算 $- 5 a^{2} \cdot 2 a^{3}$ 的结果等于.

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14. 计算 $(2 \sqrt{2} - 3) (3 + 2 \sqrt{2})$ 的结果等于.

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15. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1〜6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于2且小于5的概率是.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4，0)，点D的坐标为(-1，4)，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点C，则k的值为.

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17. 如图， $Δ A B C$ 是等边三角形， $A B = 3$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上， $A E = \frac{2}{3} A C$ ， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，将线段 $D E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转90°得到线段 $F E$ ，当 $A F // B D$ 时，线段 $A F$ 的长为.

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三、解答题

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $A$ ， $B$ ， $C$ 为格点， $D$ 为小正方形边的中点.

(1)、 $A C$ 的长等于；

(2)、点 $P$ ， $Q$ 分别为线段 $B C$ ， $A C$ 上的动点，当 $P D + P Q$ 取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 $P D$ ， $P Q$ ，并简要说明点 $P$ 和点 $Q$ 的位置是如何找到的（不要求证明）.

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19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \geq - 4 ① \\ 3 x - 3 < 2 x + 1 ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为.

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20. 某校对九年一班50名学生进行长跑项目的测试，根据测试成绩制作了两个统计图.

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次测试的学生中，得3分的学生有人，得4分的学生有人；

(2)、求这50个数据的平均数、众数和中位数．

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21. 已知， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点分别是点 $A$ ， $B$ .

(1)、如图①，若 $∠ B A C = 25 °$ ，求 $P$ 的度数；

(2)、如图②，若 $M$ 是劣弧 $A B$ 上一点， $∠ A M B = ∠ A O B$ ，求 $P$ 的度数.

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22. 如图，两座建筑物的水平距离 $B C$ 为 $60 m$ .从 $C$ 点测得 $A$ 点的仰角 $α$ 为53° ，从 $A$ 点测得 $D$ 点的俯角 $β$ 为37° ，求两座建筑物的高度(参考数据： $s i n 37^{\circ} \approx \frac{3}{5} ， c o s 37^{\circ} \approx \frac{4}{5} ， t a n 37^{\circ} \approx \frac{3}{4} ， s i n 53^{\circ} \approx 4 ， c o s 53^{\circ} \approx \frac{3}{5} ， t a n 35^{\circ} \approx \frac{4}{3})$

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23. 某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为 $x$ 次（ $x$ 为正整数）．

(1)、根据题意，填写下表：

游泳次数	5	10	15	…	$x$
方式一的总费用（元）	350		650	…
方式二的总费用（元）	200	400		…

(2)、若小亮计划今年游泳的总费用为2000元，选择哪种付费方式，他游泳的次数较多；

(3)、

x > 12

时，小亮选择哪种付费方式更合算．并说明理由.

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24. 在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 是直角三角形， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B (- 1 ， 0)$ ，点 $C$ 在第二象限，点 $P (- 2 ， \sqrt{3})$ .

(1)、如图①，求 $C$ 点坐标及 $∠ P C B$ 的大小；

(2)、将 $Δ A B C$ 绕 $C$ 点逆时针旋转得到 $Δ M N C$ ，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为点 $M$ ， $N$ ， $S$ 为 $Δ P M N$ 的面积.
①如图②，当点 $N$ 落在边 $C A$ 上时，求 $S$ 的值；

②求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (2 ， 0)$ 和点 $(- 1 ， 2)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $P (m ， t)$ 为抛物线上的一个动点，点 $P$ 关于原点的对称点为 $P^{'}$ .当点 $P^{'}$ 落在该抛物线上时，求 $m$ 的值；

(3)、 $P (m ， t)$ $(m < 2)$ 是抛物线上一动点，连接 $P A$ ，以 $P A$ 为边作图示一侧的正方形 $A P F G$ ，随着点 $P$ 的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点 $F$ 或 $G$ 恰好落在 $y$ 轴上时，求对应的 $P$ 点坐标.

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