天津市南开区2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $9 - (- 3)$ 的结果是（）

A、6 B、12 C、-12 D、-3

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2. $3 \tan 30 °$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3 D、1

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3. 5月18日，我市新一批复课开学共涉及全市877所小学、489所中学，63万名中小学生.将“63万”用科学记数法表示为（）

A、 $630 \times 10^{3}$ B、 $63 \times 10^{4}$ C、 $6.3 \times 10^{5}$ D、 $0.63 \times 10^{6}$

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4. 下列常用手机 APP 的图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $m = \sqrt{21} + 2$ ，估计m的值在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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7. 化简 $\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{x^{2} - y^{2}} - \frac{y}{x - y}$ 的结果是（）

A、 $\frac{x}{x + y}$ B、 $\frac{y}{x + y}$ C、 $\frac{x}{x - y}$ D、 $\frac{y}{x - y}$

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8. 方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 9 \\ x + y = - 3 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = - 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 5 \end{array}$

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9. 若点 $A (x_{1}, - 6)$ ， $B (x_{2}, - 2)$ ， $C (x_{3}, 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{m^{2} + 1}{x}$ （ $m$ 为常数）的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ C、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ D、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$

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10. 如图，五边形 $A B C D E$ 是 $⊙ O$ 的内接正五边形， $A F$ 是 $⊙ O$ 的直径，则 $∠ B D F$ 的度数是（）

A、18° B、36 C、 $54 °$ D、72°

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11. 如图，在 $R t △ A B O$ 中， $∠ O B A = 90 °$ ， $A (4 ， 4)$ ，点 $C$ 在边 $A B$ 上，且 $\frac{A C}{C B} = \frac{1}{3}$ ，点 $D$ 为 $O B$ 的中点，点 $P$ 为边 $O A$ 上的动点，当点 $P$ 在 $O A$ 上移动时，使四边形 $P D B C$ 周长最小的点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(\frac{5}{2} ， \frac{5}{2})$ C、 $(\frac{8}{3} ， \frac{8}{3})$ D、 $(3 ， 3)$

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ .下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③ ${(a + c)}^{2} - b^{2} < 0$ ；④ $a + b \leq m (a m + b)$ ( $m$ 为实数).其中结论正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 把多项式x³﹣25x分解因式的结果是

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14. 计算 ${(3 + \sqrt{6})}^{2}$ 的结果等于.

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15. 已知直线 $y = 2 x + 4$ 与两坐标轴分别交于A ， B两点，线段 $A B$ 的长为.

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16. 在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C ，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取.则甲、乙抽中同一篇文章的概率为.

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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = \sqrt{3} x$ 经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为.

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ， B ， D ， E为格点，C为 $A D$ ， $B E$ 的延长线的交点.

(1)、 $\sin ∠ C A B$ 的结果为.

(2)、若点R在线段 $A B$ 上，点S在线段 $B C$ 上，点T在线段 $A C$ 上，且满足四边形 $A R S T$ 为菱形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出菱形 $A R S T$ ，并简要说明点R ， S ， T的位置是如何找到的（不要求证明）

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三、解答题

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} - (x - 1) \leq 3 ① \\ \frac{1}{2} (x - 1) < \frac{1}{3} x ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为.

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20. 某校350名学生参加植树活动，要求每人植4~7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成了图1和图2两个统计图表.

请根据相关信息回答下列问题：

(1)、此次共随机抽查了名学生每人的植树量；
图①中m的值为；

(2)、求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据样本数据，估计这350名学生共植树多少棵？

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21. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于G ，过C点的切线与射线 $D O$ 相交于点E ，直线 $D B$ 与 $C E$ 交于点H ， $O G = B G$ ， $B H = 1$ .

(1)、求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、将射线 $D O$ 绕D点逆时针旋转，得射线 $D M$ （如图2）， $D M$ 与 $A B$ 交于点M ，与 $⊙ O$ 及切线 $C F$ 分别相交于点N ， F ，当 $G M = G D$ 时，求切线 $C F$ 的长.

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22. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P ．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）

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23. 某市中心城区居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费办法：
第Ⅰ级：居民每户每月用水不超过18吨时，每吨收水费3元；

第Ⅱ级：居民每户每月用水超过18吨但不超过25吨，未超过18吨的部分按照第Ⅰ级标准收费，超过的部分每吨收水费4元；

第Ⅲ级：居民每户每月用水超过25吨，未超过25吨的部分按照第Ⅰ、Ⅱ级标准收费，超过的部分每吨收水费6元．

现把上述水费阶梯收费办法称为方案①；假设还存在方案②：居民每户月用水一律按照每吨4元的标准缴费．

设一户居民月用水x吨．

(1)、根据题意填表：

(2)、设方案①应缴水费为 $y_{1}$ 元，方案②应缴水费为 $y_{2}$ 元，分别求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于x的函数解析式；

(3)、当 $x > 25$ 时，通过计算说明居民选择哪种付费方式更合算．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (3 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 4)$ ；D为 $A B$ 边上的动点.

(1)、如图1，将 $△ A B C$ 对折，使得点B的对应点 $B_{1}$ 落在对角线 $A C$ 上，折痕为 $C D$ ，求此刻点D的坐标；

(2)、如图2，将 $△ A B C$ 对折，使得点A的与点C重合，折痕交 $A B$ 于点D ，交 $A C$ 于点E ，求直线 $C D$ 的解析式；

(3)、在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得 $△ A P C$ 与 $△ A B C$ 全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，且 $O A = O C = 4 O B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象经过 $A ， B ， C$ 三点.

(1)、求 $A ， C$ 两点的坐标；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、若点 $P$ 是直线 $A C$ 下方的抛物线上的一个动点，作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，当 $P D$ 的值最大时，求此时点 $P$ 的坐标及 $P D$ 的最大值.

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