天津市和平区2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算（﹣2）³﹣（﹣2）²的结果是（）

A、﹣4 B、4 C、12 D、﹣12

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2. 2sin60°的值等于（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 2016年某市用于资助贫困学生的助学金总额是9680000元，将9680000用科学记数法表示为（）

A、96.8×10⁵ B、9.68×10⁶ C、9.68×10⁷ D、0.968×10⁸

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5. 在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方体形粉笔盒（如图），则从正面看得到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 估计 $3 \sqrt{5}$ 的值在（）

A、5和6之间 B、6和7之间 C、7和8之间 D、8和9之间

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7. 化简 $\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$ 的结果是（）

A、x+1 B、 $\frac{1}{x + 1}$ C、x﹣1 D、 $\frac{x}{x - 1}$

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8. 已知 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 2 \\ b x + a y = - 3 \end{array}$ 的解，则 $a + b$ 的值是（）

A、﹣1 B、1 C、﹣5 D、5

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9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、6 C、4 D、5

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10. 反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ 图象上有三个点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），（x₃ ， y₃），其中x₁＜x₂＜0＜x₃ ，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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11. 如右图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{7}$

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12. 已知二次函数y₁=mx²+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y₂=2x﹣2，有下列结论：
①当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；

②二次函数y₁=mx²+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；

③当m=1时，y₁≤y₂；

④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₂≤y₁均成立，则m $= \frac{1}{3}$ ．

其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 计算 $- 5 a^{2} \cdot 2 a^{3}$ 的结果等于.

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14. 计算 $(2 \sqrt{2} - 3) (3 + 2 \sqrt{2})$ 的结果等于.

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15. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1〜6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于2且小于5的概率是.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4，0)，点D的坐标为(-1，4)，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点C，则k的值为.

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17. 如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点E在AC上，AE $= \frac{2}{3}$ AC ， D是BC延长线上一点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF∥BD时，线段AF的长为．

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三、解答题

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $A$ ， $B$ ， $C$ 为格点， $D$ 为小正方形边的中点.

(1)、 $A C$ 的长等于；

(2)、点 $P$ ， $Q$ 分别为线段 $B C$ ， $A C$ 上的动点，当 $P D + P Q$ 取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 $P D$ ， $P Q$ ，并简要说明点 $P$ 和点 $Q$ 的位置是如何找到的（不要求证明）.

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19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 (x - 2) \geq - 4 ① \\ 3 x - 3 < 2 x + 1 ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)、解不等式①，得；

(2)、解不等式②，得；

(3)、把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)、原不等式组的解集为.

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20. 某校对九年一班50名学生进行长跑项目的测试，根据测试成绩制作了两个统计图.

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次测试的学生中，得3分的学生有人，得4分的学生有人；

(2)、求这50个数据的平均数、众数和中位数．

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21. 如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B

(1)、如图1，若∠BAC=25°，求∠P的度数．

(2)、如图2，若M是劣弧AB上一点，∠AMB=∠AOB ，求∠P的度数．

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22. 如图，两座建筑物的水平距离 $B C$ 为 $60 m$ .从 $C$ 点测得 $A$ 点的仰角 $α$ 为53° ，从 $A$ 点测得 $D$ 点的俯角 $β$ 为37° ，求两座建筑物的高度(参考数据： $s i n 37^{\circ} \approx \frac{3}{5} ， c o s 37^{\circ} \approx \frac{4}{5} ， t a n 37^{\circ} \approx \frac{3}{4} ， s i n 53^{\circ} \approx 4 ， c o s 53^{\circ} \approx \frac{3}{5} ， t a n 35^{\circ} \approx \frac{4}{3})$

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23. 某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为 $x$ 次（ $x$ 为正整数）．

(1)、根据题意，填写下表：

游泳次数	5	10	15	…	$x$
方式一的总费用（元）	350		650	…
方式二的总费用（元）	200	400		…

(2)、若小亮计划今年游泳的总费用为2000元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多；

(3)、当

x > 12

时，小亮选择哪种付费方式更合算．并说明理由.

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24. 在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠CAB=60°，点O（0，0），点A（1，0），点B（﹣1，0），点C在第二象限，点P（﹣2， $\sqrt{3}$ ）．

(1)、如图①，求C点坐标及∠PCB的大小；

(2)、将△ABC绕C点逆时针旋转得到△MNC，点A，B的对应点分别为点M，N，S为△PMN的面积．

①如图②，当点N落在边CA上时，求S的值；

②求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (2 ， 0)$ 和点 $(- 1 ， 2)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $P (m ， t)$ 为抛物线上的一个动点，点 $P$ 关于原点的对称点为 $P^{'}$ .当点 $P^{'}$ 落在该抛物线上时，求 $m$ 的值；

(3)、 $P (m ， t)$ $(m < 2)$ 是抛物线上一动点，连接 $P A$ ，以 $P A$ 为边作图示一侧的正方形 $A P F G$ ，随着点 $P$ 的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点 $F$ 或 $G$ 恰好落在 $y$ 轴上时，求对应的 $P$ 点坐标.

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