河北省唐山市开平区2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-07-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列图形中，只有一条对称轴的是（）

A、等腰三角形 B、菱形 C、正五边形 D、矩形

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2. 如图是某手机用户微信支付情况， $3$ 月 $28$ 日显示 $+ 150$ 的意思（）

A、转出了 $150$ 元 B、收入了 $150$ 元 C、转入 $151.39$ 元 D、抢了 $20$ 元红包

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3. 已知三角形的三边长为 $3$ ， $x$ ， $5$ ．如果 $x$ 是整数，则 $x$ 的值不可能是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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4. 一辆匀速行驶的汽车在 $8$ 点 $20$ 分的时候距离某地 $60 k m$ ，若汽车需要在 $9$ 点以前经过某地，设汽车在这段路上的速度为 $x$ （ $k m /$ 小时），列式表示正确的是（）

A、 $x > 60$ B、 $40 x > 60$ C、 $20 x < 60$ D、 $\frac{2}{3} x > 60$

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5. 如图四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A C D = 30 °$ ，则 $∠ B A D =$ （）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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6. 三位同学在计算： $(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2}) \times 12$ ，用了不同的方法，
小小说： $12$ 的 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{6}$ 和 $\frac{1}{2}$ 分别是 $3$ ， $2$ 和 $6$ ，所以结果应该是 $3 + 2 - 6 = - 1$ ；

聪聪说：先计算括号里面的数， $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{12}$ ，再乘以 $12$ 得到 $- 1$ ；

明明说：利用分配律，把 $12$ 与 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{6}$ 和 $- \frac{1}{2}$ 分别相乘得到结果是- $- 1$

对于三个同学的计算方式，下面描述正确的是（）

A、三个同学都用了运算律 B、聪聪使用了加法结合律 C、明明使用了分配律 D、小小使用了乘法交换律

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7. 去年年末，武汉市发生新型冠状病毒引起的传染病，这种病毒非常的小，直径约为 $125 n m$ （纳米）， $1 n m = 10^{- 9} m$ ，则 $2019$ 新冠病毒直径大小用科学记数法表示为（）

A、 $1.25 \times 10^{- 7} m$ B、 $1.25 \times 10^{- 11} m$ C、 $1.25 \times 10^{- 10} m$ D、 $1.25 \times 10^{- 6} m$

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8. 如图，直线 $a$ 和直线 $b$ 被直线 $c$ 所截，且 $a / / b$ ， $∠ 2 = 110 °$ ，则 $∠ 3 = 70 °$ ，下面推理过程错误的是（）

A、 $∵ a / / b$ $∴ ∠ 2 = ∠ 6 = 110 °$ ，又 $∠ 3 + ∠ 6 = 180 °$ （邻补角定义）， $∴ ∠ 3 = 180 ° - ∠ 6 = 180 ° - 110 ° = 70 °$ B、 $∵ a / / b$ $∴ ∠ 1 = ∠ 3$ ，又 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ （邻补角定义）， $∴ ∠ 1 = 180 ° - ∠ 2 = 180 ° - 110 ° = 70 °$ $∴ ∠ 3 = ∠ 1 = 70 °$ C、 $∵ a / / b$ $∴ ∠ 2 = ∠ 5$ 又 $∠ 3 + ∠ 5 = 180 °$ （邻补角定义）， $∴ ∠ 3 = 180 ° - ∠ 5 = 180 ° - ∠ 2 = 180 ° - 110 ° = 70 °$ D、 $∵ a / / b$ $∴ ∠ 2 = ∠ 4 = 110 °$ ，∵∠3+∠4=180°（邻补角定义） $∴ ∠ 3 = 180 ° - ∠ 4 = 180 ° - 110 ° = 70 °$

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9. 如图，正五边形 $A B C D E$ 绕点 $A$ 旋转了 $α °$ ，当 $α = 36 °$ 时，则 $∠ 1 =$ （）

A、 $72 °$ B、 $108 °$ C、 $144 °$ D、 $120 °$

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10. 小王和小李两名同学研究本班女同学的身高情况，两人分别统计了一组数据，

小王	$163$	$164$	$164$	$165$	$165$	$166$	$166$	$167$
小李	$161$	$162$	$164$	$165$	$166$	$166$	$168$	$168$

经过计算得到两组数据的方差，小王一组的方差为 $1.5$ ，小李一组的方差为 $2.5$ ；则下列说法正确的是（）

A、小王统计的一组数据比较稳定 B、小李统计的一组数据比较稳定 C、两组数据一样稳定 D、不能比较稳定性

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11. 某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路 $a$ ， $b$ ， $c$ 围成的一块地上修建一个度假村，要使这个度假村到 $a$ ， $b$ 两条公路的距离相等，且到 $B$ ， $C$ 两地的距离相等，下列选址方法绘图描述正确的是（）

A、画 $∠ C A B$ 的平分线，再画线段 $B C$ 的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 B、先画 $∠ C A B$ 和 $∠ B C A$ 的平分线，再画线段 $B C$ 的垂直平分线，三线的交点符合选址条件 C、画三个角 $∠ C A B$ ， $∠ B C A$ 和 $∠ A B C$ 三个角的平分线，交点即为所求 D、画 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 三条线段的垂直平分线，交点即为所求

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12. 如图，数轴上 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个点表示连续的五个整数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ，且 $a + e = 0$ ，则下列说法正确的有（）
①点 $C$ 表示的数字是 $0$

② $b + d = 0$

③ $e = - 2$

④ $a + b + c + d + e = 0$

A、都之前 B、只有①③正确 C、只有①②③正确 D、只有③错误

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13. 使分式 $\frac{x}{x - 3}$ 和分式 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 相等的x值是（）

A、 $- 5$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 1$

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14. 一透明的敞口正方体容器 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 装有一些液体，棱 $A B$ 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 $α$ （ $∠ C B E = α$ ，如图1所示）．如图1，液面刚好过棱 $C D$ ，并与棱 $B B^{'}$ 交于点 $Q$ ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．则此时 $B Q$ 的长为（）

A、 $5 d m$ B、 $4 d m$ C、 $1 d m$ D、 $3 d m$

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15. 如图所示的直角坐标系内，双曲线的解析式为 $y = \frac{6}{x}$ ，若将原坐标系的 $x$ 轴向上平移两个单位，则双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 在新坐标系内的解析式为（）

A、 $y - 2 = \frac{6}{x}$ B、 $y + 2 = \frac{6}{x}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = \frac{6}{x - 2}$

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16. 课外小组的同学们，在校内准备测量墙外一手机发射塔的高度，小组的同学们首先在校内宽敞处选定一点 $M$ ，在 $M$ 点测得到塔顶 $H$ 的仰角为 $45 °$ ，然后他们沿与 $M$ 和塔底 $O$ 连线 $M O$ 垂直的方向走了 $60$ 米到达 $N$ 点，在 $N$ 点观测塔顶 $H$ 的仰角为 $30 °$ ，小组根据这些数据计算出发射塔的高度最接近的数值是（）

A、 $40$ B、 $45$ C、 $30$ D、 $42$

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二、填空题

17. 当 $m \neq 0$ 且 $m \neq \pm 1$ 时，如果 $m^{0} \times m^{- 5} m^{n} = 1$ ，则n= ．

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18. 在实数范围定义一种新运算 $m @ n = - m + 3 n$ （加减乘除是普通的运算），例如： $1 @ 2 = - 1 + 3 \times 2 = 5$ ，计算 $- 1 @ 2 =$ ，若 $2 x @ (- 3 x - 1) = 8$ ，则 $x =$ ．

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19. 有一边长为 $10 m$ 的等边 $Δ A B C$ 游乐场，某人从边 $A B$ 中点 $P$ 出发，先由点 $P$ 沿平行于 $B C$ 的方向运动到 $A C$ 边上的点 $P_{1}$ ，再由 $P_{1}$ 沿平行于 $A B$ 方向运动到 $B C$ 边上的点 $P_{2}$ ，又由点 $P_{2}$ 沿平行于 $A C$ 方向运动到 $A B$ 边上的点 $P_{3}$ ，则此人至少要运动 $m$ ，才能回到点 $P$ ．如果此人从 $A B$ 边上意一点出发，按照上面的规律运动，则此人至少走 $m$ ，就能回到起点．

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三、解答题

20. 小盛和丽丽在学完了有理数后做起了数学游戏

(1)、规定用四个不重复（绝对值小于 $10$ ）的正整数通过加法运算后结果等于 $12$
小盛： $1 + 2 + 3 + 6 = 12$ ；丽丽： $1 + 2 + 4 + 5 = 12$ ，问是否还有其他的算式，如果有请写出来一个，如果没有，请简单说明理由；

(2)、规定用四个不重复（绝对值小 $10$ ）的整数通过加法运算后结果等 $12$
小盛： $- 2 - 3 + 8 + 9 = 12$ ；丽丽： $- 3 + 0 + 8 + 7 = 12$ ；请根据要求再写出一个与他们不同的算式．

(3)、用（2）中小盛和丽丽的算式继续排列下去组成一个数列，使相邻的四个数的和都等于 $12$ ，小盛： $- 2$ ， $- 3$ ， $8$ ， $9$ ， $x$ $\dots \dots$
丽丽： $- 3$ ， $0$ ， $8$ ， $7$ ， $y$ $\dots \dots$

则 $x =$ ； $y =$ ．求丽丽写出的数列的前 $19$ 项的和．

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21. 在一个不透明的口袋中放入 $4$ 个大小形状几乎完全相同实验用的鸡蛋，鸡蛋的质量有微小的差距（用手感觉不到差异），质量分别为 $49$ 、 $50$ 、 $51$ 克，已知随机的摸出一个鸡蛋，摸到 $49$ 克和 $51$ 克的鸡蛋的概率是相等的．

(1)、求这四个鸡蛋质量的众数和中位数

(2)、小明做实验需要拿走一个鸡蛋，芳芳在小明拿走后从剩下的三个鸡蛋中随机的拿走一个
①通过计算分析小明拿走一个鸡蛋后，剩下的三个鸡蛋质量的中位数是多少？

②假设小明拿走的鸡蛋质量为 $49$ 克，芳芳随机的拿出一个鸡蛋后又放回，之后再随机的拿出一个鸡蛋，请用树状图求芳芳两次拿到都是 $50$ 克的鸡蛋的概率？

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22. 完全平方公式是初中数学的重要公式之一： ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，在学习中芳芳同学发现 $3 + 2 \sqrt{2}$ 也可以用完全平方公式进行分解因式， $3 + 2 \sqrt{2} = 2 + 2 \sqrt{2} + 1 = {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{2} + 1^{2} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2}$ ；根据以上发现解决问题

(1)、写出一个上面相同的式子，并进行分解因式；

(2)、若 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2}$ ，请用 $m$ ， $n$ 表示 $a$ ， $b$

(3)、如图在 $R t Δ A B C$ 中， $B C = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $∠ C = 90 °$ ，延长 $C A$ 至点 $D$ ，使 $A D = A B$ ，求 $B D$ 的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）

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23. 有甲，乙两个电子团队整理一批电脑数据，整理电脑的台数为 $y$ （台）与整理需要的时间 $x$ 之间关系如下图所示，请依据图象提供的信息解答下列问题：

(1)、乙队工作 $2$ 小时整理台电脑，工作 $6 h$ 时两队一共整理了台；

(2)、求甲、乙两队 $y$ 与 $x$ 的关系式．

(3)、甲、乙两队整理电脑台数相等时，直接写出 $x$ 的值．

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24. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $α °$ ．得到 $Δ A D E$ ，连接 $B D$ ， $C E$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $Δ A B D ≅ Δ A C E$ ；

(2)、用 $α$ 表示 $∠ A C E$ 的度数；

(3)、若使四边形 $A B F E$ 是菱形，求 $α$ 的度数，

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25. 已知，如图，二次函数 $L ： y = m x^{2} + 2 m x + k$ （其中 $m$ ， $k$ 是常数， $k$ 为正整数）

(1)、若 $L$ 经过点 $(1 ， k + 6)$ 求 $m$ 的值．

(2)、当 $m = 2$ ，若 $L$ 与 $x$ 轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数，确定 $k$ 的值；

(3)、在（2）的条件下将 $L ： y = m x^{2} + 2 m x + k$ 的图象向下平移 $8$ 个单位，得到函数图象 $M$ ，求 $M$ 的解析式；

(4)、在（3）的条件下，将 $M$ 的图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 $N$ ，请结合新的图象解答问题，若直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 与 $N$ 有两个公共点时，请直接写出 $b$ 的取值范围．

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26. 如图，点 $E$ 在矩形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上， $A D = 6$ ， $\tan ∠ A C D = \frac{3}{2}$ ，连接 $C E$ ，线段 $C E$ 绕点 $C$ 旋转 $90 °$ ，得到线段 $C F$ ，以线段 $E F$ 为直径做 $⊙ O$ ．

(1)、请说明点 $C$ 一定在 $⊙ O$ 上的理由，

(2)、①点 $M$ 在 $⊙ O$ 上， $M C$ 为 $⊙ O$ 的直径，求证：点 $M$ 到 $A D$ 的距离等于线段 $D E$ 的长．
②当 $Δ A E M$ 面积取得最大值时，求 $⊙ O$ 半径的长．

(3)、当 $⊙ O$ 与矩形 $A B C D$ 的边相切时，计算扇形 $O C F$ 的面积．

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