河北省唐山市丰润区2020年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2020-07-14 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $0.2$ 的倒数是（）

A、 $0.2$ B、 $- 0.2$ C、5 D、-5

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2. 若 $α = 27 ° 2 5^{'}$ ，则 $α$ 的余角等于（）

A、 $62 ° 2 5^{'}$ B、 $62 ° 3 5^{'}$ C、 $152 ° 2 5^{'}$ D、 $152 ° 3 5^{'}$

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3. 使得式子 $\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、x≥4 B、x＞4 C、x≤4 D、x＜4

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4. 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）.

A、12 B、10 C、8 D、6

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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6. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 用科学记数法表示的数 $3.18 \times 10^{- 5}$ ，原来是（）

A、 $31800$ B、 $318000$ C、 $0.0000318$ D、 $0.000318$

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8. 化简： $\frac{a^{2} + 1}{a + 1} - \frac{2}{a + 1} =$ （）

A、 $a - 1$ B、 $a + 1$ C、 $\frac{a - 1}{a + 1}$ D、 $\frac{1}{a + 1}$

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9. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点A在直线 $l_{1}$ 上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于B、C两点，连结AC、BC.若 $∠ A B C = 70^{°}$ ，则 $∠ 1$ 的大小为（）

A、 $20^{°}$ B、 $35^{°}$ C、 $40^{°}$ D、 $70^{°}$

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10. 甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{120}{x} = \frac{150}{x - 8}$ B、 $\frac{120}{x + 8} = \frac{150}{x}$ C、 $\frac{120}{x - 8} = \frac{150}{x}$ D、 $\frac{120}{x} = \frac{150}{x + 8}$

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，将 $Δ A D C$ 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若 $∠ B = 60^{°}$ ， $A B =3$ ，则 $Δ A D E$ 的周长为（）

A、12 B、15 C、18 D、21

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12. 如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，则弧 $B C$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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13. 小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（）

A、 $\frac{13}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14.
如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　）

A、10cm B、15cm C、10 $\sqrt{3}$ cm D、20 $\sqrt{2}$ cm

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15. 定义新运算： $p \oplus q = {\begin{array}{l} \frac{p}{q} (q > 0) \\ - \frac{p}{q} (q < 0) \end{array}$ ，例如： $3 \oplus 5 = \frac{3}{5}$ ， $3 \oplus (- 5) = - \frac{3}{5}$ ，则 $y = 2 \oplus x$ $(x \neq 0)$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 如图， $R t Δ O C B$ 的斜边在 $y$ 轴上， $O C ＝ \sqrt{3}$ ，含 $30 °$ 角的顶点与原点重合，直角顶点 $C$ 在第二象限，将 $R t Δ O C B$ 绕原点顺时针旋转 $120 °$ 后得到 $Δ O C^{'} B'$ ，则 $B$ 点的对应点 $B^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(\sqrt[]{3} ， - 1)$ B、 $(1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(2，0)$ D、 $(\sqrt{3} ， 0)$

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二、填空题

17. 如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $⊙ D$ 经过原点 $O$ ，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $B$ 坐标为 $(0 ， 2 \sqrt{3})$ ， $O C$ 与 $⊙ D$ 交于点 $C$ ， $∠ O C A = 30 °$ ，则圆中阴影部分的面积为.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 和 $y = - \sqrt{3} x$ 的图象分别为直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，过 $l_{1}$ 上的点A₁（1， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）作x轴的垂线交 $l_{2}$ 于点A₂ ，过点A₂作y轴的垂线交 $l_{1}$ 于点A₃ ，过点A₃作x轴的垂线交 $l_{2}$ 于点A₄…，一次进行下去，则点 $A_{2020}$ 的横坐标为 .

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三、解答题

20. 计算：

(1)、 ${(2019 - π)}^{0} + | 1 - \sqrt{3} | - \sin 60 °$

(2)、分解因式： ${(x - 1)}^{2}$ + (2x-5)

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 中，作 $B E ⊥ A D$ 、 $C F ⊥ A B$ ，分别交 $A D$ 、 $A B$ 的延长线于点 $E 、 F$ .

(1)、求证： $A E = B F$ ；

(2)、若点 $E$ 恰好是 $A D$ 的中点， $A B = 2$ ，求 $B D$ 的值.

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22. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据.

(1)、求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；

(2)、根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；

(3)、若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

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23. 在一次海上救援中，两艘专业救助船 $A ， B$ 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船 $B$ 在 $A$ 的正北方向，事故渔船 $P$ 在救助船 $A$ 的北偏西30°方向上，在救助船 $B$ 的西南方向上，且事故渔船 $P$ 与救助船 $A$ 相距120海里.

(1)、求收到求救讯息时事故渔船 $P$ 与救助船 $B$ 之间的距离；

(2)、若救助船A ， $B$ 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 $P$ 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

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24. 双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数，且 $k \neq 0$ ）与直线 $y = - 2 x + b$ 交于 $A (- \frac{1}{2} m ， m - 2) ， B (1 ， n)$ 两点.

(1)、求k与b的值；

(2)、如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积.

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25. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径， $P$ 点为半径 $O A$ 上异于 $O$ 点和 $A$ 点的一个点，过 $P$ 点作与直径 $A B$ 垂直的弦 $C D$ ，连接 $A D$ ，作 $B E ⊥ A B$ ， $O E / / A D$ 交 $B E$ 于 $E$ 点，连接 $A E$ 、 $D E$ ， $A E$ 交 $C D$ 于 $F$ 点．

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ， $\sin ∠ A D P = \frac{1}{3}$ ，求 $A D$ ；

(3)、请猜想 $P F$ 与 $F D$ 的数量关系，并加以证明．

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26. 如图①，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{4} x + \frac{9}{4}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ；抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{9}{4}$ $(a \neq 0)$ 过 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于另一点 $C (- 1 ， 0)$ ，抛物线的顶点为 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在直线 $A B$ 上方的抛物线上有一动点 $E$ ，求出点 $E$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值；

(3)、如图②，直线 $A B$ 与抛物线的对称轴相交于点 $F$ ，请直接写出 $∠ B D F$ 的平分线与 $y$ 轴的交点 $P$ 的坐标．

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