2020年高考数学真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2020-07-13 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 3, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${- 3, 3}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 3, - 2, - 1, 1, 3}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： $mm$ ），将所得数据分为9组： $[5.31 ， 5.33) ， [5.33 ， 5.35) ， \dots ， [5.45 ， 5.47] ， [5.47 ， 5.49]$ ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 $[5.43 ， 5.47)$ 内的个数为（）

A、10 B、18 C、20 D、36

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5. 若棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $144 π$

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6. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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7. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， & x ⩾ 0 ， \\ - x ， & x < 0. \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - | k x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，

10. i是虚数单位，复数 $\frac{8 - i}{2 + i} =$ ．

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11. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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12. 已知直线 $x - \sqrt{3} y + 8 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $| A B | = 6$ ，则 $r$ 的值为．

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13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．

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14. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{8}{a + b}$ 的最小值为．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60^{°} ， A B = 3$ ， $B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = λ \vec{B C} ， \vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{2}$ ，则实数 $λ$ 的值为，若 $M ， N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为．

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三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D ， E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1 C E = 2 ， M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, - 3)$ ，右焦点为F，且 $| O A | = | O F |$ ，其中O为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点C满足 $3 \vec{O C} = \vec{O F}$ ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 $A B$ 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 $A B$ 的中点．求直线 $A B$ 的方程．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{array}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前2n项和．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + k \ln x (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．
（Ⅰ）当 $k = 6$ 时，

（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

（ii）求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) + \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k ⩾ - 3$ 时，求证：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ．

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