2020年高考数学真题试卷（江苏卷）

试卷更新日期：2020-07-13 类型：高考真卷

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一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 已知i是虚数单位，则复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ 的实部是.

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3. 已知一组数据 $4, 2 a, 3 - a, 5, 6$ 的平均数为4，则a的值是.

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4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是.

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5. 如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是.

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6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ x，则该双曲线的离心率是.

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7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ，则f(-8)的值是.

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8. 已知 $\sin^{2} (\frac{π}{4} + α)$ = $\frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值是.

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9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm.

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10. 将函数y= $3 \sin (2 x ﹢ \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.

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11. 设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．已知数列{a_n+b_n}的前n项和 $S_{n} = n^{2} - n + 2^{n} - 1 (n \in N^{+})$ ，则d+q的值是．

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12. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

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13. 在△ABC中， $A B = 4 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 90 ° ，$ D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 $\vec{P A} = m \vec{P B} + (\frac{3}{2} - m) \vec{P C}$ （m为常数），则CD的长度是．

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14. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $P (\frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ ，A，B是圆C： $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 36$ 上的两个动点，满足 $P A = P B$ ，则△PAB面积的最大值是．

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二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，B₁C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B₁C的中点．

(1)、求证：EF∥平面AB₁C₁；

(2)、求证：平面AB₁C⊥平面ABB₁ ．

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 3 ， c = \sqrt{2} ， B = 45 °$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、在边BC上取一点D，使得 $\cos ∠ A D C = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ D A C$ 的值．

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17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， $O O^{'}$ 为铅垂线( $O^{'}$ 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 $h_{1}$ (米)与D到 $O O^{'}$ 的距离a(米)之间满足关系式 $h_{1} = \frac{1}{40} a^{2}$ ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 $h_{2}$ (米)与F到 $O O^{'}$ 的距离b(米)之间满足关系式 $h_{2} = - \frac{1}{800} b^{3} + 6 b$ .已知点B到 $O O^{'}$ 的距离为40米.

(1)、求桥AB的长度；

(2)、计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{'}$ 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 $\frac{3}{2} k$ (万元)(k>0).问 $O^{'} E$ 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?

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18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF₂⊥F₁F₂ ，直线AF₁与椭圆E相交于另一点B．

(1)、求△AF₁F₂的周长；

(2)、在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 $\vec{O P} \cdot \vec{Q P}$ 的最小值；

(3)、设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₂=3S₁ ，求点M的坐标．

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19. 已知关于x的函数 $y = f (x) ， y = g (x)$ 与 $h (x) = k x + b (k ， b \in R)$ 在区间D上恒有 $f (x) \geq h (x) \geq g (x)$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{2} + 2 x ， g (x) = - x^{2} + 2 x ， D = (- \infty ， + \infty)$ ，求h(x)的表达式；

(2)、若 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (x) = k \ln x ， h (x) = k x - k ， D = (0 ， + \infty)$ ，求k的取值范围；

(3)、若 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} ， g (x) = 4 x^{2} - 8 ， h (x) = 4 (t^{2} - t) x - 3 t^{4} + 2 t^{2} (0 < | t | \leq \sqrt{2}) ，$ $D = [m ， n] \subseteq [- \sqrt{2} ， \sqrt{2}] ，$ 求证： $n - m \leq \sqrt{7}$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的首项a₁=1，前n项和为S_n ．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 $S_{n + 1}^{\frac{1}{k}} - S_{n}^{\frac{1}{k}} = λ a_{n + 1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“λ–k”数列．

(1)、若等差数列 ${a_{n}}$ 是“λ–1”数列，求λ的值；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是“ $\frac{\sqrt{3}}{3} - 2$ ”数列，且a_n＞0，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 ${a_{n}}$ 为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

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三、【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21. [选修4-2：矩阵与变换]
平面上点 $A (2, - 1)$ 在矩阵 $M = [\begin{array}{l} a 1 \\ - 1 b \end{array}]$ 对应的变换作用下得到点 $B (3, - 4)$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求矩阵M的逆矩阵 $M^{- 1}$ ．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点 $A (ρ_{1}, \frac{π}{3})$ 在直线 $l : ρ \cos θ = 2$ 上，点 $B (ρ_{2}, \frac{π}{6})$ 在圆 $C : ρ = 4 \sin θ$ 上（其中 $ρ \geq 0$ ， $0 \leq θ < 2 π$ ）．

(1)、求 $ρ_{1}$ ， $ρ_{2}$ 的值

(2)、求出直线l与圆C的公共点的极坐标．

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23. 设 $x \in R$ ，解不等式 $2 | x + 1 | + | x | \leq 4$ ．

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四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

24. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\sqrt{5}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

(1)、求直线AB与DE所成角的余弦值；

(2)、若点F在BC上，满足BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

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25. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n ，恰有2个黑球的概率为p_n ，恰有1个黑球的概率为q_n ．

(1)、求p₁·q₁和p₂·q₂；

(2)、求2p_n+q_n与2p_n-1+q_n-1的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示) ．

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