2020年高考数学真题试卷（北京卷）

试卷更新日期：2020-07-13 类型：高考真卷

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 1, 2}$ D、 ${1, 2}$

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2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(1, 2)$ ，则 $i \cdot z =$ （）．

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 - i$

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3. 在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）．

A、-5 B、5 C、-10 D、10

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4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A、 $6 + \sqrt{3}$ B、 $6 + 2 \sqrt{3}$ C、 $12 + \sqrt{3}$ D、 $12 + 2 \sqrt{3}$

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5. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - x - 1$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是（）．

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $P Q ⊥ l$ 于Q，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（）．

A、经过点O B、经过点P C、平行于直线 $O P$ D、垂直于直线 $O P$

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8. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 9$ ， $a_{5} = - 1$ ．记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则数列 ${T_{n}}$ （）．

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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9. 已知 $α, β \in R$ ，则“存在 $k \in Z$ 使得 $α = k π + {(- 1)}^{k} β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $π$ Day）．历史上，求圆周率 $π$ 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $2 π$ 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， $π$ 的近似值的表达式是（）．

A、 $3 n (\sin \frac{30^{°}}{n} + \tan \frac{30^{°}}{n})$ B、 $6 n (\sin \frac{30^{°}}{n} + \tan \frac{30^{°}}{n})$ C、 $3 n (\sin \frac{60^{°}}{n} + \tan \frac{60^{°}}{n})$ D、 $6 n (\sin \frac{60^{°}}{n} + \tan \frac{60^{°}}{n})$

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二、填空题共5题，每小题5分，共25分

11. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \ln x$ 的定义域是．

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12. 若函数 $f (x) = \sin (x + φ) + \cos x$ 的最大值为2，则常数 $φ$ 的一个取值为．

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13. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 $W = f (t)$ ，用 $- \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小评价在 $[a ， b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在 $[t_{1} ， t_{2}]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在 $[0 ， t_{1}] ， [t_{1} ， t_{2}] ， [t_{2} ， t_{3}]$ 这三段时间中，在 $[0 ， t_{1}]$ 的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是．

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．

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15. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点P满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则 $| \vec{P D} | =$ ； $\vec{P B} \cdot \vec{P D} =$ ．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $a + b = 11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

条件①： $c = 7 ， \cos A = - \frac{1}{7}$ ；

条件②： $\cos A = \frac{1}{8} ， \cos B = \frac{9}{16}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

	男生		女生
	支持	不支持	支持	不支持
方案一	200人	400人	300人	100人
方案二	350人	250人	150人	250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $p_{0}$ ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $p_{1}$ ，试比较 $p_{0}$ 与 $p_{1}$ 的大小．（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = 12 - x^{2}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 的斜率等于 $- 2$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t ， f (t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S (t)$ ，求 $S (t)$ 的最小值．

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $A (- 2, - 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点 $B (- 4, 0)$ 的直线l交椭圆C于点 $M, N$ ,直线 $M A, N A$ 分别交直线 $x = - 4$ 于点 $P, Q$ ．求 $\frac{| P B |}{| B Q |}$ 的值．

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21. 已知 ${a_{n}}$ 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 ${a_{n}}$ 中任意两项 $a_{i}, a_{j} (i > j)$ ，在 ${a_{n}}$ 中都存在一项 $a_{m}$ ，使 $\frac{a_{i}^{2}}{a_{j}} = a_{m}$ ；

②对于 ${a_{n}}$ 中任意项 $a_{n} (n ⩾ 3)$ ，在 ${a_{n}}$ 中都存在两项 $a_{k}, a_{l} (k > l)$ ．使得 $a_{n} = \frac{a_{k}^{2}}{a_{l}}$ ．

(Ⅰ)若 $a_{n} = n (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $a_{n} = 2^{n - 1} (n = 1, 2, \dots)$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 ${a_{n}}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： ${a_{n}}$ 为等比数列.

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