浙教版2019-2020学年初中数学八年级下学期期末复习专题1 二次根式

试卷更新日期：2020-07-12 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 在式子 $\sqrt{π - 3.14}$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\sqrt{a + 5}$ ， $\sqrt{- 3 y^{2}}$ ， $\sqrt{m^{2} + 1}$ ， $\sqrt{| a b |}$ 中，是二次根式的有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 函数y＝ $\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 的自变量x的取值范围是（　　）

A、x＞1 B、x≥1 C、x≥1且x≠0 D、x≤1

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3. 若 $\sqrt{a (5 - a)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{5 - a}$ ，则（）

A、a≤5 B、a≥0 C、0≤a≤5 D、a≥5

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4. 已知 $\sqrt{12 n}$ 是整数，则满足条件的最小正整数n为（）

A、1 B、2 C、3 D、12

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5. 下列运算中，错误的有(　　)
① $\sqrt{1 \frac{25}{144}} = 1 \frac{5}{12}$ ，② $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = \pm 4$ ，③ $\sqrt[3]{- 1} = - \sqrt[3]{1}$ ，④ $\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{25}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 若a+b=3，ab=1,则式子 $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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7. 若 $x = \sqrt{m} - \sqrt{n}, y = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ ，则 $x y$ 的值是( ）.

A、 $2 \sqrt{m}$ B、 $m - n$ C、 $m + n$ D、 $2 \sqrt{n}$

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8. 如图，表示 $5 \sqrt{3} - \sqrt{27}$ 的点应在（）

A、线段 $A B$ 上 B、线段 $B C$ 上 C、线段 $C D$ 上 D、线段 $D E$ 上

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9. 下列等式中，成立的是（）

A、 ${(\sqrt{5})}^{2} = 5$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 1$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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10. 在将式子 $\frac{m}{\sqrt{m}}$ （m＞0）化简时，
小明的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}}$ = $\frac{m^{} \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}$ = $\frac{m \sqrt{m}}{m}$ = $\sqrt{m}$ ；

小亮的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{{(\sqrt{m})}^{2}}{\sqrt{m}} = \sqrt{m}$ ；

小丽的方法是： $\frac{m}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{m}} = \sqrt{m}$ .

则下列说法正确的是（　　）

A、小明、小亮的方法符合题意，小丽的方法不符合题意 B、小明、小丽的方法符合题意，小亮的方法不符合题意 C、小明、小亮、小丽的方法都符合题意 D、小明、小丽、小亮的方法都不符合题意

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二、填空题

11. 如果 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，那么x可以取的最小整数为.

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12. 若y= $\sqrt{x-3}$ + $\sqrt{3-x}$ +2，则x=。

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13. 若 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}}$ =3-x，则x的取值范围是．

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14. 下列二次根式中：① $\sqrt{24}$ ；②2 $\sqrt{27}$ ；③ $\sqrt{14}$ ；④ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ，是最简二次根式的是(填序号)．

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15. 若最简二次根式 $\sqrt[x - 1]{x + y}$ 与 $\sqrt{4 x - 2 y}$ 是同类二次根式，则 $x y$ =,

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16. 若二次根式 $\sqrt{2 x + 5}$ 与 $\sqrt{3}$ 能合并，则x可取的最小正整数是．

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三、解答题

17. 计算

(1)、 $(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) + {(- 1)}^{2019} \cdot {(\sqrt{3} - π)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$

(2)、 $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{9}{2}} + {(\sqrt{3} - 1)}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{{(- 4)}^{2}}$

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{32}$

(2)、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} + (\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})$

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19. 已知a，b，c为实数且c＝ $\sqrt{a - 3}$ + $\sqrt{3 - a}$ $- \sqrt{- {(b + 1)}^{2}}$ $+ 2 - \sqrt{5}$ ，求代数式c²﹣ab的值.

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20. 已知 $M = \frac{x + y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{2 x y}{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}} ， N = \frac{3 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y}}{\sqrt{x + y} + \sqrt{y - x}}$ ．甲、乙两个同学在 $y = \sqrt{x - 8} + \sqrt{8 - x} + 18$ 的条件下分别计算了 $M$ 和 $N$ 的值．甲说 $M$ 的值比 $N$ 大，乙说 $N$ 的值比 $M$ 大．请你判断他们谁的结论是正确，并说明理由．

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21. 现有一块长为 $7.5 d m$ 、宽为 $5 d m$ 的木板，能否在这块木板上截出两个面积是 $8 d m^{2}$ 和 $18 d m^{2}$ 的正方形木板？

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22. 探究过程：观察下列各式及其验证过程.
① $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ ② $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$
验证：
$2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2^{2}} \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{3}}{3}} = \sqrt{\frac{(2^{3} - 2) + 2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{2} - 2}{2^{2} - 1} + \frac{2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{2 (2^{2} - 1)}{2^{2} - 1} + \frac{2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ 验证： $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{8}} = \sqrt{\frac{(3^{3} - 3) + 3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{2} - 3}{3^{2} - 1} + \frac{3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{3 (2^{2} - 3)}{3^{2} - 1} + \frac{3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$

(1)、按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
$4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ = ； $5 \sqrt{\frac{5}{24}} =$ ；

(2)、通过上述探究你能猜测出： $n \sqrt{\frac{n}{n^{2} - 1}}$ =（n>0），并验证你的结论.

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23. 阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ (一)

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (二)

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ (三)

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ (四)

(1)、直接写出化简结果① $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ = ， ② $\frac{1}{\sqrt{5}}$ =.

(2)、请选择适当的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

(3)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ .

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