浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | x^{2} < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0,1}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 若函数 $f (x) = | 2 x + a |$ 的单调递减区间是 $(- \infty, 3]$ ，则a的值为（）

A、-3 B、3 C、-6 D、6

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3. 点P从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动 $\frac{2 π}{3}$ 弧长到达Q点，则Q的坐标为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

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4. 已知 $a = \log_{3} 2$ ， $b = 2^{\frac{1}{2}}$ ， $c = 3^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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5. 函数 $f (x) = (x + 2 a) {(x - a)}^{2}$ 的导数为（）

A、 $2 (x^{2} - a^{2})$ B、 $2 (x^{2} + a^{2})$ C、 $3 (x^{2} - a^{2})$ D、 $3 (x^{2} + a^{2})$

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6. 函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、关于原点对称 B、关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、关于y轴对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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7. 对任意向量 $\vec{m}, \vec{n}$ ，下列关系式中不恒成立的是（）

A、 $| \vec{m} \cdot \vec{n} | \leq | \vec{m} | | \vec{n} |$ B、 $| \vec{m} - \vec{n} | \leq | | \vec{m} | - | \vec{n} | |$ C、 ${(\vec{m} + \vec{n})}^{2} \leq {| \vec{m} + \vec{n} |}^{2}$ D、 $(\vec{m} + \vec{n}) (\vec{m} - \vec{n}) \leq {| \vec{m} |}^{2} - {| \vec{n} |}^{2}$

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8. 函数 $f (x) = x^{2} - \frac{a}{| x |} (a \in R)$ 的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 ， x < 1 \\ \frac{1}{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (f (x)) = t$ 有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2]$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2)$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + m x + m \ln x$ ( $m > 0$ )，若对于区间 $[1，2]$ 上的任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | x_{1}^{2} - x_{2}^{2} |$ 成立，则实数m的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、1

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二、双空题

11. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，i为虚数单位，则z的虚部是， $| z | =$ .

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12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ， $c = 3$ ，则角 $C =$ ， $a =$ .

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13. 函数 $f (x) = 2 | x + 1 | - | x - 1 |$ 的值域为；若函数 $g (x) = f (x) - a$ 的两个不同零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $2 \leq | x_{1} - x_{2} | \leq 10$ ，则实数a的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 和 $g (x) = \sqrt{x} + a x + b$ ，若 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$ 恒成立，则 $a =$ ， $b =$ .

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三、填空题

15. 已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝ $\frac{3}{5}$ ，则m＝.

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16. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最大值与最小值之和为.

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17. 已知 $\vec{e}$ 为单位向量，平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + 2 \vec{e} | = 2$ ， $| \vec{b} - \vec{e} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sin x, \cos x)$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $\tan 2 x$ 的值：

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，求 $x$ 的值.

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19. 设函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ， $x \in R$ .

(1)、已知 $θ \in [- π, π]$ ，函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求 $θ$ 的值；

(2)、设 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C$ ，若 $a = 2$ ， $f (\frac{π}{4} + \frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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20. 设函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ ， $g (x) = x f^{'} (x)$ ， $x \geq 0$ ，其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在原点处的切线方程

(2)、令 $g_{1} (x) = g (x)$ ， $g_{n + 1} (x) = g (g_{n} (x))$ ， $n \in N^{*}$ ，请猜想 $g_{n} (x)$ 的表达式，并用数学归纳法证明结论.

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21. 已知函数 $f (x) = - x | x - 2 a | + 1 (x \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的零点.

(2)、当 $a \in (0, \frac{3}{2})$ ，求函数 $y = f (x)$ 在 $x \in [1, 2]$ 上的最大值；

(3)、对于给定的正数 $a$ ，有一个最大的正数 $T (a)$ ，使 $x \in [0, T (a)]$ 时，都有 $| f (x) | \leq 1$ ，试求出这个正数 $T (a)$ 的表达式.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + a$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性

(2)、若函数 $f (x)$ 有一个大于 $1$ 的零点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x_{0}) = 0$ ，且 $x_{0} > 1$ ，求证： $x_{0} + 1 > \frac{2}{a}$ .

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