浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $N = {x | - 1 \leq x - 1 \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${- 2, 0, 1}$

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2. 若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，其中i为虚数单位，则 $\bar{z}$ =（）

A、1+i B、1−i C、−1+i D、−1−i

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3. 设 $a, b, c$ 大于0，则3个数 $\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}$ 的值（）

A、至多有一个不大于 1 B、都大于1 C、至少有一个不大于1 D、都小于1

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4. 将函数 $y = \sin (2 x)$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $φ = \frac{2 π}{3}$ D、 $φ = \frac{5 π}{6}$

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5. 函数 $f (x) = 3 \cos x \cdot \ln (x^{2} + 1)$ 的部分图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{2020} > 0$ ， $S_{2021} < 0$ ，则满足 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} > 0$ 的最大 $n =$ （）

A、1008 B、1009 C、1010 D、1011

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7. 若直线 $y = x$ 与曲线 $y = e^{2 x + m}$ （ $m \in R$ ，e为自然对数的底数）相切，则 $m =$ （）

A、-2 B、 $- 1 - \ln 2$ C、 $- \ln 2$ D、2

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8. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{\cos α - \sin α}{\cos α + \sin α} = \frac{\sin β}{1 + \cos β}$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{π}{4}$ B、 $α + β = \frac{π}{2}$ C、 $α + 2 β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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9. 如图，已知直线 $y = k x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，则 $F (x) = f (x) - k x$ 有（）

A、1个极大值点，2个极小值点 B、2个极大值点，1个极小值点 C、3个极大值点，无极小值点 D、3个极小值点，无极大值点

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $0 < a_{1} < \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + ln (2 - a_{n})$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则下列说法正确的是（）

A、 $0 < a_{2019} < \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} < a_{2019} < 1$ C、 $1 < a_{2019} < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} < a_{2019} < 2$

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二、双空题

11. 已知 $2^{a} = 5^{b} = 10$ ，则 $4^{- a} =$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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12. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式， $e^{\frac{4 π}{3} i}$ 在复平面内对应的点位于第象限， $| e^{i x} - 2 |$ 的最大值为.

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13. 已知 $\frac{\sin (- α) + \cos α}{\sin (π - α) + 2 \cos α} = 1$ ，则 $\tan α =$ ， $\sin 2 α =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 边交于点 $D$ ， $B D = 2 D C$ ，则 $\frac{\sin B}{\sin C} =$ ；若 $∠ B D A = 120 °$ ，则角 $B =$ .

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三、填空题

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{n^{2} + n} (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} \leq t^{2} - t$ 恒成立，则实数t的取值范围为.

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16. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - m x + 2 ， x < 0 \\ \ln x - m x ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = x$ 恰有三个零点，则实数m的取值范围为.

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17. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，且正实数 $λ, μ$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b} - λ \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - μ \vec{b}) = 0$ 则 $| λ \vec{a} - μ \vec{b} |$ 取值范围为.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} \cos 2 x - 1$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 x - a | - 2 x$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、令 $g (x) = f (x) + x^{2}$ ，若 $g (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 2]$ 的最大值为 $5$ ，求a的值.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $\vec{A E} = \vec{E C}$ ，P为 $B E$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = \frac{3}{4} \vec{A B} + m \vec{A C}$ .

(1)、求实数m的值；

(2)、求 $\vec{A P} \cdot \vec{A C}$ 的最小值.

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ，递增数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{n + 1} = b_{n} + b_{n + 2} (n \in N^{*})$ ， $b_{1} = a_{1}$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{a_{b_{n}} - 1} < b_{n} (n \in N^{*})$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - x - a \sqrt{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2 \sqrt{e}$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x \in (b ， b + 1)$ 内有极小值，求实数b的取值范围；

(2)、当 $a \leq \frac{5}{4}$ 时，证明： $f (x) > - e^{\frac{1}{4}} (\frac{5}{8} + e^{\frac{1}{4}})$ .（自然常数 $e \approx 2.7$ ）

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