浙江省“9+1”联盟2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $m ， n \in A$ ，则方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 表示焦点位于x轴上的椭圆有（）

A、6个 B、8个 C、12个 D、16个

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2. 设 $x ， y \in R$ ，则 ${(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{y}$ 是 $\log_{2} x < \log_{2} y$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 下列函数中是偶函数，且在 $（ 0 ， + \infty ）$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = - l g x^{2}$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = \sqrt{| x |}$

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4. 用数学归纳法证明“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} +$ … $\frac{1}{n + n} \geq \frac{11}{24} (n \in N_{+})$ ”时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，不等试左边应添加的项是（）

A、 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$

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5. 现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有（）

A、1440种 B、1400种 C、1320种 D、1200种

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{I n | x |}{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，随机变量 $ξ$ 的分布列如下：

$ξ$

$0$

$1$

$2$

$P$

$0.5$

$0.5 - x$

$x$

则当 $x$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 内增大时（）

A、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 减小 B、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 增大 C、 $E (ξ)$ 增大， $D (ξ)$ 减小 D、 $E (ξ)$ 减小， $D (ξ)$ 增大

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8. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = x^{2} - m ， h (x) = 6 \ln x - 4 x$ ，设两曲线 $y = f (x)$ 与 $y = h (x)$ 在公共点处的切线相同，则 $m$ 值等于（）

A、-3 B、1 C、3 D、5

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点， $A F_{2}$ ， $B F_{2}$ .分别交y轴于P，Q两点，若 $△ P Q F_{2}$ 的周长为12，则 $a b^{2}$ 取得最大值时，该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 下列函数使方程 $f (f (x)) = x$ 的实根个数最多的为（）

A、 $f (x) = x^{2} - x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = | 2 x - 1 |$

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二、双空题

11. 若全集 $U = {x | x \geq - 4}$ ， $A = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 3}$ ， $A \cap B =$ ； $∁_{U} A =$ .

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12. 已知随机变量X，Y满足 $X ~ B (5, \frac{1}{4})$ ， $Y = 2 X + 3$ ，则 $E (Y) =$ ； $D (Y) =$ .

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13. 用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数.

(1)、可以组成个不同的偶数；

(2)、若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成个.（用数字作答）.

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三、填空题

14. 设 $(2 x + \frac{1}{x}) {(4 x - 1)}^{9} = \frac{b}{x} + a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{10}}{2^{10}} =$ .

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15. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $2 f (x) > x f^{'} (x)$ 则使得 $f (x) \geq 0$ 成立的x的取值范围是.

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16. 已知椭圆 $C ： x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ， $P (0 ， m)$ 为y轴上一动点.若存在以点P为圆心的圆P与椭圆C有四个不同的公共点，则m的取值范围是.

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17. 若函数 $f (x) = \sqrt{a - x} + \sqrt{a + x} - a (a \neq 0)$ 不存在零点，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 一个袋子里装有7个球，其中有红球4个.白球3个.这些球除颜色外全相同.

(1)、若一次从袋中取出3个球，取出的球颜色不完全相同的概率；

(2)、若一次从袋中取出3个球.其中若取到红球得0分，取到白球得1分，记随机变量 $ξ$ 为取出的三个小球得分之和，求 $ξ$ 的分布列，并求其数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面ABCD， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ， $P D = \sqrt{5}$ ，E为PB的中点.

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面PBC；

(2)、求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的图象经过坐标原点，且在 $x = 1$ 处取得极大值.

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、若方程 $f (x) = - \frac{{(2 a + 3)}^{2}}{9}$ 好有两个不同的根求 $f (x)$ 的解析式.

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21. 如图，过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l交抛物线C： $y^{2} = x$ 于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，过点A作x轴的垂线交直线 $O B$ 于点D.

(1)、求证： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = 2$ ；

(2)、求 $Δ O A D$ 的面积S的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ， $g (x) = \ln x - x$ .

(1)、若函数 $h (x) = a f (x) + g (x) (a \in R)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若 $g (x) \leq m x + n (m \in R ， n > 0)$ 恒成立，求 $(m + 1) n$ 的最小值 $φ (n)$ 的最大值.

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$ξ$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0.5$	$0.5 - x$	$x$