2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)

试卷更新日期：2020-07-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11}$ ， $B = {x | 3 < x < 15}$ ，则A∩B中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 若 $\bar{z} (1 + i) = 1 - i$ ，则z=（）

A、1–i B、1+i C、–i D、i

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3. 设一组样本数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的方差为0.01，则数据10x₁ ， 10x₂ ， …，10x_n的方差为（）

A、0.01 B、0.1 C、1 D、10

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4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $t^{*}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A、60 B、63 C、66 D、69

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5. 已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 1$ ，则点C的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、直线

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7. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1，0） D、（2，0）

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8. 点(0，﹣1)到直线 $y = k (x + 1)$ 距离的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A、6+4 $\sqrt{2}$ B、4+4 $\sqrt{2}$ C、6+2 $\sqrt{3}$ D、4+2 $\sqrt{3}$

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10. 设a=log₃2，b=log₅3，c= $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b

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11. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则tanB=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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12. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{matrix}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

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14. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$ x，则C的离心率为．

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15. 设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + a}$ ．若 $f^{'} (1) = \frac{e}{4}$ ，则a= ．

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16. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

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三、解答题

17. 设等比数列{a_n}满足 $a_{1} + a_{2} = 4$ ， $a_{3} - a_{1} = 8$ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为数列{log₃a_n}的前n项和．若 $S_{m} + S_{m +}_{1} = S_{m}_{+ 3}$ ，求m．

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18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

(1)、分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)、求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别在棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．证明：

(1)、当 $A B = B C$ 时， $E F ⊥ A C$ ；

(2)、点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - k x + k^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点，求k的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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四、[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 - t - t^{2} ， \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{matrix}$ (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

(1)、求| $A B$ |：

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

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五、[选修4-5：不等式选讲]

23. 设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)、证明：ab+bc+ca<0；

(2)、用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

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