2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅲ)

试卷更新日期：2020-07-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {(x, y) | x, y \in N^{*}, y \geq x}$ ， $B = {(x, y) | x + y = 8}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2. 复数 $\frac{1}{1 - 3 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{10}$ B、 $- \frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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3. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{4} p_{i} = 1$ ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

A、 $p_{1} = p_{4} = 0.1, p_{2} = p_{3} = 0.4$ B、 $p_{1} = p_{4} = 0.4, p_{2} = p_{3} = 0.1$ C、 $p_{1} = p_{4} = 0.2, p_{2} = p_{3} = 0.3$ D、 $p_{1} = p_{4} = 0.3, p_{2} = p_{3} = 0.2$

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4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{- 0.23 (t - 53)}}$ ，其中K为最大确诊病例数．当I( $t^{*}$ )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{*}$ 约为（）（ln19≈3）

A、60 B、63 C、66 D、69

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5. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1，0） D、（2，0）

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6. 已知向量a，b满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\cos ⟨ \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{19}{35}$

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7. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A、6+4 $\sqrt{2}$ B、4+4 $\sqrt{2}$ C、6+2 $\sqrt{3}$ D、4+2 $\sqrt{3}$

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9. 已知2tanθ–tan(θ+ $\frac{π}{4}$ )=7，则tanθ=（）

A、–2 B、–1 C、1 D、2

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10. 若直线l与曲线y= $\sqrt{x}$ 和x²+y²= $\frac{1}{5}$ 都相切，则l的方程为（）

A、y=2x+1 B、y=2x+ $\frac{1}{2}$ C、y= $\frac{1}{2}$ x+1 D、y= $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{1}{2}$

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11. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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12. 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{matrix}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

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14. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

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16. 关于函数f（x）= $\sin x + \frac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 设数列{a_n}满足a₁=3， $a_{n}_{+ 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ．

(1)、计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)、求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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18. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

(2)、求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别在棱 $D D_{1} ， B B_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1}$ ， $B F = 2 F B_{1}$ ．

(1)、证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，求二面角 $A - E F - A_{1}$ 的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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21. 设函数 $f (x) = x^{3} + b x + c$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点( $\frac{1}{2}$ ，f( $\frac{1}{2}$ ))处的切线与y轴垂直．

(1)、求b．

(2)、若 $f (x)$ 有一个绝对值不大于1的零点，证明： $f (x)$ 所有零点的绝对值都不大于1．

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四、[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - t - t^{2} \\ y = 2 - 3 t + t^{2} \end{array}$ （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

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五、[选修4-5：不等式选讲]

23. 设a，b，c $\in$ R，a+b+c=0，abc=1．

(1)、证明：ab+bc+ca<0；

(2)、用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ $\sqrt[3]{4}$ ．

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