浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\tan \frac{5 π}{6}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $A = 60 °$ ， $B = 45 °$ ， $a = 3$ 则 $b =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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3. 正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么 $\overset{⇀}{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{D A}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{A D}$ .

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4. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{4} = a_{4} + 3$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 下列函数中，最小正周期为 $π$ ，且图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称的函数是（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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6. 若 $\sin x - 2 \cos x = \sqrt{5}$ ，则 $\tan x =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a < b c o s C$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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8. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，公差d不为零，前n项和是 $S_{n}$ ，若 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，则（）

A、 $a_{1} d > 0$ ， $d S_{4} > 0$ B、 $a_{1} d < 0$ ， $d S_{4} < 0$ C、 $a_{1} d > 0$ ， $d S_{4} < 0$ D、 $a_{1} d < 0$ ， $d S_{4} > 0$

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9. 设 $θ$ 为两个非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角，已知对任意实数t， $| \vec{b} - t \vec{a} |$ 的最小值为1，则（）

A、若 $θ$ 确定，则 $| \vec{a} |$ 唯一确定 B、若 $θ$ 确定，则 $| \vec{b} |$ 唯一确定 C、若 $| \vec{a} |$ 确定，则 $θ$ 唯一确定 D、若 $| \vec{b} |$ 确定，则 $θ$ 唯一确定

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2}$ ， $A_{1} (x_{1} ， 0) ， A_{2} (x_{2} ， 0) ， \dots ， A_{n} (x_{n} ， 0)$ ， $n \in N^{*}$ 为x轴上的点，且满足 $x_{1} = 1$ ， $x_{n} = \frac{1}{2} x_{n - 1}$ ，过点 $A_{1} ， A_{2} ， \dots ， A_{n}$ 分别作x轴垂线交 $y = f (x)$ 于点 $B_{1} ， B_{2} ， \dots ， B_{n}$ ，若以 $A_{p} ， B_{p} ， A_{p + 1}$ 为顶点的三角形与以 $A_{q} ， B_{q} ， A_{q + 1}$ 为顶点的三角形相似，其中 $p < q$ ，则满足条件的p，q共有（）

A、0对 B、1对 C、2对 D、无数对

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二、双空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， x)$ ， $\vec{b} = (y ， 3)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 12$ ，则 $x =$ ， $y =$ ．

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12. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^* ，则a₁= ， S₅= ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 60^{°}$ ， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则 $∠ A C B =$ ， $A C =$ ．

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三、填空题

14. 若函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4})$ 的值为．

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15. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = {\begin{matrix} a ， n = 1 \\ 4 n + {(- 1)}^{n} (8 - 2 a) ， n \geq 2 \end{matrix}$ ，若对任意 $n \in N_{+} ， a_{n} < a_{n + 1}$ 恒成立，则a的取值范围是 .

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四、解答题

17. 已知 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sin 2 x - \sqrt{3} + 1$ $(x \in R)$ ，求：

(1)、 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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18. 如图，在 $Δ O C B$ 中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设 $\overset{⇀}{O A} = \vec{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示向量 $\overset{⇀}{O C}$ ， $\overset{⇀}{D C}$ ；

(2)、若 $\overset{⇀}{O E} = λ \overset{⇀}{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 \sqrt{3} a sin B = 5 c$ ， $cos B = \frac{11}{14}$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设 $B C$ 边的中点为D， $| A D | = \frac{\sqrt{19}}{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项积 $T_{n} = 1 - a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + \dots + T_{n}^{2}$ ，证明： $- \frac{5}{12} \leq S_{n} - a_{n + 1} < - \frac{1}{3}$ ．

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