浙江省七彩阳光新高考研究联盟2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 终边上有一点P（3，﹣4），则 $\sin α$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\pm \frac{3}{5}$ D、 $\pm \frac{4}{5}$

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2. $\vec{A B} + \vec{P C} + \vec{B A} - \vec{Q C}$ 的化简结果是（）

A、 $\vec{P Q}$ B、 $\vec{Q P}$ C、 $\vec{B Q}$ D、 $\vec{C Q}$

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3. 在△ABC中，AC $= \sqrt{6}$ ，BC＝2，B＝60°，则角A的值为（）

A、75° B、45° C、45°或135° D、135°

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4. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ ，下列结论错误的是（）

A、函数f（x）最小正周期为2π B、函数f（x）在区间（0，π）上是减函数 C、函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称 D、函数f（x）是偶函数

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 27$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots a_{2020}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{8} (3^{2020} - 1)$ B、 $\frac{1}{8} (3^{2020} - 1)$ C、 $\frac{3}{2} (3^{2020} - 1)$ D、 $\frac{3}{2} (3^{1010} - 1)$

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6. 对于实数a，b，c，有下列命题：
①若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ ；②若 $a > b$ ，且 $a + c > b + d$ ，则 $c > d$ ；③若 $a > b$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a > 0$ ， $b < 0$ ；④若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ .其中真命题的是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、③④

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7. 已知 $\tan α$ ， $\tan β$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 4 = 0$ 的两根，且 $α, β \in (0, π)$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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8. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{m} + a_{n} ＝ a_{4} + a_{5}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、1

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ |， $| \vec{b} | = 1$ ，且对任意的实数x，不等式 $| \vec{a} + x \vec{b} | \geq | \vec{a} + \vec{b} |$ 恒成立，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的值为（）

A、﹣2 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 数列{a_n}为递增的等差数列，数列{b_n}满足b_n＝a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），设S_n为数列{b_n}的前n项和，若a₂ $= \frac{9}{5} a_{7}$ ，则当S_n取得最小值时n的值为（）

A、14 B、13 C、12 D、11

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二、双空题

11. 已知向量 $\vec{a} =$ （1，2）， $\vec{b} =$ （2，﹣2），|2 $\vec{a} + \vec{b}$ |＝， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为.

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12. 求值： $c o s \frac{25}{3} π + t a n (- \frac{15}{4} π) =$ ， cos²75°+cos²15°+cos75°cos15°＝.

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13. 在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为 $- \frac{1}{2}$ ，则a＝， S_△_ABC＝.

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14. 已知 $\cos (\frac{π}{4} + x) = \frac{3}{5} ， \frac{5 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ ，则 $\sin 2 x$ ＝， $\frac{\sin 2 x + 2 \sin^{2} x}{1 - \tan x} =$ .

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三、填空题

15. 等比数列{a_n}的公比为q，其前n项之积为T_n ，若满足条件：a₁＞1，a₉₉•a₁₀₀﹣1＞0， $\frac{a_{99} - 1}{a_{100} - 1} < 0$ ，当T_n取得最大时，n＝.

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16. 已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 m x + 4$ ，若对于任意 $x \in [m, m + 2]$ ，都有 $f (x) > 0$ 成立，则实数m的取值范围为.

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17. 不共线的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为θ，若向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角也为θ，则cosθ的最小值为.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ( $0 < φ < π$ )，它的图象的一条对称轴是直线x $= \frac{π}{12}$ .

(1)、求 $φ$ 的值及函数 $f (x)$ 的递增区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ ，求 $\sin 2 α$ .

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19. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点E是线段 $B C$ 的中点.

(1)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{A E}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A F} = \vec{A E} + λ \vec{A D}$ ，且 $B D ⊥ A F$ ，求 $λ$ 的值.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2^{n} - 3$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列且 $b_{2} = S_{3}$ ， $b_{4} - b_{2} = 4 S_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和T_n.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若 $\cos C + (\cos A + \sqrt{3} \sin A) \cos B = 0$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、设 $B C$ 的中点为D，且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 c$ 的取值范围.

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22. 已知数列{a_n}满足a₁＝3，a₂ $= \frac{3}{2}$ ，且2a_n+1＝3a_n﹣a_n-1.

(1)、求证：数列{a_n+1﹣a_n}是等比数列，并求数列{a_n}通项公式；

(2)、求数列{na_n}的前n项和为T_n ，若 $T_{n} > 12 - \frac{k}{n}$ 对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.

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