浙江省丽水市发展共同体2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sin 70^{\circ} \cos 40^{\circ} - \cos 70^{\circ} \sin 40^{\circ}$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若 $a, b, c, d \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$

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3. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | | \ln x | < 1}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 ${x | \frac{1}{e} < x < e}$ B、 ${x | \frac{1}{e} < x < 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < e}$

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4. 已知各项均为正数的等比数列{ $a_{n}$ }， $a_{1} a_{2} a_{3}$ =5， $a_{7} a_{8} a_{9}$ =10，则 $a_{4} a_{5} a_{6}$ =( )

A、 $5 \sqrt{2}$ B、7 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 将函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，则所得函数（）

A、是奇函数 B、其图象以 $x = \frac{π}{4}$ 为一条对称轴 C、其图象以 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 为一个对称中心 D、在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上为单调递减函数

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6. 已知 $α$ 、 $β$ 为锐角， $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $\tan (β - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan β =$ （）

A、 $\frac{13}{9}$ B、 $\frac{9}{13}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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7. 某船开始看见灯塔A时，灯塔A在船南偏东 $30^{\circ}$ 方向，后来船沿南偏东 $60 °$ 的方向航行 $45 k m$ 后，看见灯塔A在船正西方向，则这时船与灯塔A的距离是（）

A、 $15 \sqrt{2} k m$ B、 $30 k m$ C、 $15 k m$ D、 $15 \sqrt{3} k m$

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} > 0$ ， $S_{9} = S_{14}$ ，则（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{23}$ C、 $a_{12} = 0$ D、满足 $S_{n} > 0$ 的最大自然数n的值为23

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9. 在 $Δ A B C$ 中.已知 $D$ 是 $B C$ 延长线上一点.点 $E$ 为线段 $A D$ 的中点.若 $\vec{B C} = 2 \vec{C D}$ .且 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ .则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 在递减等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{3} = a_{2}^{2} - 4$ ．若 $a_{1} = 13$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前n项和的最大值为（）

A、 $\frac{24}{143}$ B、 $\frac{1}{143}$ C、 $\frac{24}{13}$ D、 $\frac{6}{13}$

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11. 已知向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，且满足对任意的 $t \in R$ ，恒有 $| \vec{a} - t \vec{e} | \geq | \vec{a} - \vec{e} |$ ，则 $| x \vec{a} + (1 - 2 x) \vec{e} | (x \in R)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ，则下列说法错误的是（）

A、当 $b = - 1$ 时， $a_{n} > a_{n + 1}$ B、当 $b = - 1$ 时， $a_{n} \leq 2 a_{n + 1}$ C、当 $b = 2$ 时， $a_{n} > \frac{3^{n - 1}}{4}$ D、当 $b = 2$ 时， $a_{n + 1} \leq 2 a_{n}$

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二、双空题

13. 已知点 $P (1, - 2)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则 $\tan α$ = ， $\frac{\sin α - 2 \cos α}{2 \sin α + 3 \cos α}$ =.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (k, 1)$ ，且满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k$ = ，向量 $(\vec{a} + \vec{b})$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为.

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15. 已知角 $α$ 满足 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n α + c o s α$ = ， $s i n 2 α$ =.

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 4 \sqrt{5}$ ， $c = 5$ ， $B = 2 C$ ，则 $\cos C =$ ，点D为边 $B C$ 上一点，且 $B D = 6$ ，则 $Δ A D C$ 的面积为.

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三、填空题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} =$

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18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} | + | \vec{b} |$ 的最大值为.

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19. 已知实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，则 $x y - 3 y z$ 的取值范围为.

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四、解答题

20. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若角 $α \in (0 ， π)$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{4}$ ，求 $\sin (α + \frac{7 π}{12})$ 的值.

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21. 已知 $Δ A B C$ 中的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 满足 $a = \sqrt{2}$ ， $Δ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} - a^{2} + c^{2})$ .

(1)、若 $b + c = 2 + \sqrt{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积；

(2)、若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，求 $c - \sqrt{2} b$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | a x - a |$ $(a > 0)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 5$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$ ，设正实数 $m, n$ 满足 $m + n = a$ ，求 $\frac{1}{m + 1} + \frac{2}{n + 2}$ 的最小值.

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23. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = m$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = 3 n^{2} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在一个奇数 $m$ ，使得数列 ${12 \cdot 3^{n - 1}}$ 中的项都在数列 ${a_{n}}$ 中？若存在，找出符合条件的一个奇数 $m$ ；若不存在，请说明理由.

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