北京市燕山地区2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭，将22000科学记数法表示应为（）

A、 $2.2 \times 10^{4}$ B、 $2.2 \times 10^{5}$ C、 $22 \times 10^{3}$ D、 $0.22 \times 10^{5}$

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2. 如图，用三角板作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是某几何体的展开图，则该几何体是（）

A、四棱锥 B、三棱锥 C、四棱柱 D、长方体

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5. 如图，在数轴上，实数a，b的对应点分别为点 $A ， B$ ，则 $a b =$ （）

A、1.5 B、1 C、-1 D、-4

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6. 2019年10月20日，第六届世界互联网大会在浙江乌镇举行，会议发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果属于芯片领域．小飞同学要从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选1项进行了解，则他恰好选中芯片领域成果的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{15}$

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7. 若 $a^{2} + 4 a = 5$ ，则代数式 $2 a (a + 2) - (a + 1) (a - 1)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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8. “实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为 $A ， B$ 两组，从 $A ， B$ 组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示 $A$ 组的客户，“*”表示 $B$ 组的客户．
下列推断错误的是（）

A、A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组 B、A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组 C、A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组 D、这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组

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二、填空题

9. 函数y= $\sqrt{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是；实数2﹣ $\sqrt{3}$ 的倒数是．

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10. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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11. 下图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．

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12. 用一个a的值说明命题“若 $a^{2} > 1$ ，则 $a > 1$ ”是假命题，这个值可以是 $a =$ ．

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13. 如图， $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ 3$ 均是五边形 $A B C D E$ 的外角， $A E / / B C$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 =$ °．

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14. 如图，边长为1的小正方形网格中，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 均在格点上，半径为2的 $⊙ A$ 与 $B C$ 交于点F，则 $\tan ∠ D E F =$ ．

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15. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中有一个“绳索量竿”问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺”．
译文：现有一根杆和一条绳索，用绳索去量杄，绳索比杆子长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿子短5尺，问绳索长几尺？注：一托 $= 5$ 尺

设绳索长X尺，竿子长y尺，依题意，可列方程组为．

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16. 四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交点O，点 $M ， N ， P ， Q$ 分别为边 $A B ， B C ， C D ， D A$ 的中点．有下列四个推断，
①对于任意四边形 $A B C D$ ，四边形 $M N P Q$ 都是平行四边形；

②若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则 $M P$ 与 $N Q$ 交于点O；

③若四边形 $A B C D$ 是矩形，则四边形 $M N P Q$ 也是矩形；

④若四边形 $M N P Q$ 是正方形，则四边形 $A B C D$ 也一定是正方形．

所有符合题意推断的序号是．

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三、解答题

17. 计算： $- 3^{2} + 2 \tan 60 ° - \sqrt{12} + {(3 - π)}^{0}$ ．

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18. 解不等式 $\frac{x - 1}{3} - 2 (x + 1) \geq 1$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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19. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， C D ⊥ A B$ 于点 $D ， ∠ B A C$ 的平分线 $A E$ 交 $B C$ 于点E．

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、求证： $∠ B C D = ∠ C A E$ ．

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20. 已知关于x的方程 $m x^{2} - (2 m + 1) x + 2 = 0 (m \neq 0)$ ．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

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21. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， D$ 为 $A B$ 中点，O为 $B C$ 中点，连结 $D O$ 并延长到点E，使 $O E = O D$ ，连接 $B E ， C E$ ．

(1)、求证：四边形 $D C E B$ 为菱形；

(2)、若 $A C = 6 ， ∠ D C B = 30 °$ ，求四边形 $D C E B$ 的面积．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = m x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1 ， 4)$ 和点B．

(1)、求 $m ， k$ 的值及点C的坐标；

(2)、若点 $P$ 是 $x$ 轴上一点，且 $S_{△ A B P} = 5$ ，直接写出点P的坐标．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 切线 $C D$ 交 $B A$ 的延长线于点D，过点O作 $O E / / A C$ 交切线 $D C$ 于点E，交 $B C$ 于点F．

(1)、求证： $∠ B = ∠ E$ ；

(2)、若 $A B = 10 ， \cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $E F$ 的长．

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24. 已知 $y_{1} ， y_{2}$ 均是x的函数，下表是 $y_{1} ， y_{2}$ 与 $x$ 的几组对应值．

小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 $y_{1} ， y_{2}$ 与x之间的变化规律，分别对函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小聪的探究过程，请补充完整：

(1)、如图，在同一平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出上表中各组数值所对应的点 $(x ， y_{1}) ， (x ， y_{2})$ ，并画出函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象；

(2)、结合画出的函数图象，解决问题：
①当 $x = 3.5$ 时，对应的函数值 $y_{1}$ 约为；

②写出函数 $y_{2}$ 的一条性质：；

③当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是．

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25. 某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动．为了了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体能测试，获得了他们的成缋（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：成绩80分及以上为优秀，70-79分为良好，60-69分为合格，60分以下为不合格）
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为五组： $50 \leq x < 60 ， 60 \leq x < 70 ， 70 \leq x < 80 ， 80 \leq x < 90 ， 90 \leq x \leq 100$ ）

b．八年级学生成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：

70 71 73 73 73 74 76 77 78 79

c．九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下：

平均数

中位数

众数

优秀率

79

76

84

40%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，由此可知他是年级的学生（填“八”，或“九”）；

(2)、根据上述信息，推断年级学生运动状况更好，理由为；（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

(3)、假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，
①预估九年级学生达到优秀的约有人；

②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到分才可以入选．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A ， B$ （A在B的左侧）．

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标及抛物线的对称轴；

(2)、已知点 $P (2 ， 2) ， Q (2 + 2 a ， 5 a)$ ，若抛物线与线段 $P Q$ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．

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27. 已知菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60^{°}$ ，点 $E$ 为边 $A D$ 上一个动点（不与点 $A ， D$ 重合），点F在边 $D C$ 上，且 $A E = D F$ ，将线段 $D F$ 绕着点D逆时针旋转120°得线段 $D G$ ，连接 $G F ， B F ， E F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求证： $△ B E F$ 为等边三角形

(3)、用等式表示线段 $B G ， G F ， C F$ 的数量关系，并证明．

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28. 对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点P和图形G，给出如下定义：若图形G上存在两个点 $A ， B$ ，使得 $△ P A B$ 是边长为2的等边三角形，则称点P是图形G的一个“和谐点”．
已知直线 $l ： y = \sqrt{3} x + n (n \geq 0)$ 与 $x$ 轴交于点M，与y轴交于点 $N ， ⊙ O$ 的半径为r．

(1)、若 $n = 0$ ，在点 $P_{1} (2 ， 0) ， P_{2} (0 ， 2 \sqrt{3}) ， P_{3} (4 ， 1)$ 中，直线l的和谐点是；

(2)、若 $r = 2 ， ⊙ O$ 上恰好存在2个直线l的和谐点，求n的取值范围；

(3)、若 $n = 3 \sqrt{3}$ ，线段 $M N$ 上存在 $⊙ O$ 的和谐点，直接写出r的取值范围．

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平均数	中位数	众数	优秀率
79	76	84	40%