北京市门头沟区2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：中考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 如图，是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A、三棱锥 B、三棱柱圆柱 C、圆柱 D、圆锥

查看试题解析
2. －3的相反数是（）

A、－3 B、3 C、±3 D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
3. 如果代数式 $\frac{x - 1}{x}$ 的值为0，那么实数x满足（）

A、 $x = 1$ B、 $x ⩾ 1$ C、 $x \neq 0$ D、 $x ⩾ 0$

查看试题解析
4. 实数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $b > 2$ C、 $a < b$ D、 $a = b$

查看试题解析
5. 下列运算中，正确的是（）

A、 $x^{2} + 2 x^{2} = 3 x^{4}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ C、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ D、 ${(x y)}^{2} = x^{2} y$

查看试题解析
6. 如果 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ，那么代数式 $(x - \frac{4}{x}) \div \frac{x + 2}{x^{2}}$ 的值为（）

A、0 B、2 C、1 D、-1

查看试题解析
7. 如图，线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C ， D$ 为 $⊙ O$ 上两点，如果 $A B = 4 ， A C = 2$ ，那么 $∠ A D C$ 的度数是（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

查看试题解析
8. 如图，动点 $P$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，2)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，1)，第4次接着运动到点(4，0)，……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点 $P$ 的坐标是（）

A、(26，0) B、(26，1) C、(27，1) D、(27，2)

查看试题解析

二、填空题

9. 如图所示， $a // b$ ，表示直线a与b之间距离的是线段的长度．

查看试题解析
10. 分解因式： $x^{3} - x y^{2} =$ .

查看试题解析
11. 如果数据 $a ， b ， c$ 的平均数是4，那么数据 $a + 1 ， b + 1 ， c + 1$ 的平均数是．

查看试题解析
12. 如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，那么 $∠ 1$ 的度数为°．

查看试题解析
13. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛(“斛”是古代的一种容量单位)，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”

译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？

设1个大桶可以盛酒 $x$ 斛，1个小桶可以盛酒 $y$ 斛，依题意，可列二元一次方程组为．

查看试题解析
14. 在同一时刻，测得身高 $1.8 m$ 的小明同学的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为20m，那么这根旗杆的高度为m．

查看试题解析
15. 如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：．

查看试题解析
16. 某租赁公司有 $A, B$ 型两种客车，它们的载客量和租金标准如下：

客车类型

载客量(人/辆)

租金(元/辆)

$A$ 型

45

400

$B$ 型

30

280

如果某学校计划组织195名师生到培训基地参加社会实践活动，那么租车的总费用最低为元．

查看试题解析

三、解答题

17. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | + 2 \cos 45 ° - \sqrt{8} + 2^{- 2}$ ．

查看试题解析
18. 解不等式 $1 + \frac{x}{2} \leq \frac{x + 5}{4}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

查看试题解析
19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (a + 1) x + a = 0$ ．

(1)、求证：此方程总有两个实数根；

(2)、如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．

查看试题解析
20. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．

已知：如图，直线 $l$ 和直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $P Q$ ，使直线 $P Q / /$ 直线 $l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上任取一点 $A$ ，作射线 $A P$ ；

②以 $P$ 为圆心， $P A$ 为半径作弧，交直线 $l$ 于点 $B$ ，连接 $P B$ ；

③以 $P$ 为圆心， $P B$ 长为半径作弧，交射线 $A P$ 于点 $C$ ；分别以 $B ， C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 长为半径作弧，在 $A C$ 的右侧两弧交于点 $Q$ ；

④作直线 $P Q$ ；

所以直线 $P Q$ 就是所求作的直线．

根据上述作图过程，回答问题：

(1)、用直尺和圆规，补全图中的图形；

(2)、完成下面的证明：
证明：由作图可知 $P Q$ 平分 $∠ C P B$ ，

$∴ ∠ C P Q = ∠ B P Q = \frac{1}{2} ∠ C P B$ ．

又 $∵ P A = P B$ ，

$∴ ∠ P A B = ∠ P B A$ ．( ▲ )(填依据1)．

$∵ ∠ C P B = ∠ P A B + ∠ P B A$ ，

$∴ ∠ P A B = ∠ P B A = \frac{1}{2} ∠ C P B$ ．

$∴ ∠ C P Q = ∠ P A B$ ，∴直线 $P Q / /$ 直线 $l$ ．( ▲ )(填依据2)．

查看试题解析
21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，线段 $A C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于O，分别交 $B C ， A D$ 于 $E ， F$ ，连接 $A E ， C F$ ．

(1)、证明：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、在（1）的条件下，如果 $A C ⊥ A B ， ∠ B = 30 ° ， A E = 2$ ，求四边形 $A E C F$ 的面积．

查看试题解析
22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线 $D E$ 交 $A B$ 于E．

(1)、求证： $D E ⊥ A B$ ；

(2)、如果 $\tan B = \frac{1}{2} ， ⊙ O$ 的直径是5，求 $A E$ 的长．

查看试题解析
23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = m x + m$ 的图象与x轴交于点A，将点A向右平移2个单位得到点D．

(1)、求点D坐标；

(2)、如果一次函数 $y = m x + m$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点B，且点B的横坐标为1．
① $k = 4$ 时，求m的值；

②当 $A D = B D$ 时，直接写出m的值．

查看试题解析

24. 有这样一个问题：探究函数

y = \frac{1}{x^{2}} + x

的图象与性质．

小菲根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{1}{x^{2}} + x$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小菲的探究过程，请补充完整：

(1)、函数

y = \frac{1}{x^{2}} + x

的自变量

x

的取值范围是．

(2)、下表是y与x的几组对应值．

$x$

…

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$- \frac{2}{3}$

$- \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{2}$

…

$y$

…

$- \frac{26}{9}$

$- \frac{7}{4}$

$m$

$\frac{19}{12}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{35}{12}$

$\frac{9}{2}$

$\frac{9}{4}$

$\frac{28}{9}$

…

表中m的值为．

(3)、如下图，在平面直角坐标系

x O y

中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；

(4)、根据画出的函数图象，写出：

① $x = 1.5$ 时，对应的函数值 $y$ 约为(结果保留一位小数)；

②该函数的一条性质：．

查看试题解析

25. 自从开展“创建全国文明城区“工作以来，门头沟区便掀起了“门头沟热心人“志愿服务的热潮，区教委也号召各校学生积极参与到志愿服务当中．为了解甲、乙两所学校学生一周志愿服务情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长(单位：分钟)数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a ．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图(数据分成6组： $20 ⩽ x < 40 ， 40 ⩽ x < 60 ， 60 ⩽ x < 80 ， 80 ⩽ x < 100 ， 100 ⩽ x < 120 ， 120 ⩽ x < 140$ )：

A： $20 ⩽ x < 40$        B： $40 ⩽ x < 60$

C： $60 ⩽ x < 80$         D： $80 ⩽ x < 100$

E： $100 ⩽ x < 120$       F： $120 ⩽ x < 140$

b ．甲校40名学生一周志愿服务时长在 $60 ⩽ x < 80$ 这一组的是：

60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 80 80

c ．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：

学校

平均数

中位数

众数

甲校

75

$m$

90

乙校

75

76

85

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、 $m =$ ；

(2)、根据上面的统计结果，你认为所学校学生志愿服务工作做得好(填“甲“或“乙“)，理由；

(3)、甲校要求学生一周志愿服务的时长不少于60分钟，如果甲校共有学生800人，请估计甲校学生中一周志愿服务时长符合要求的有人．

查看试题解析
26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ 的顶点为A，直线 $y = x + 3$ 与抛物线交于点 $B ， C$ (点B在点C的左侧)．

(1)、求点A坐标；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 $B C$ 及抛物线在 $B ， C$ 两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W．
①当 $a = 0$ 时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；

②如果区域W内有2个整点，请求出 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
27. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的两个动点(不与点 $A ， B ， C$ 重合)，且 $A E = C F$ ，延长 $B C$ 到G，使 $C G = C F$ ，连接 $E G ， D F$ ．

(1)、依题意将图形补全；

(2)、小华通过观察、实验、提出猜想：在点 $E ， F$ 运动过程中，始终有 $E G = \sqrt{2} D F$ ．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：
想法一：连接 $D E ， D G$ ，证明 $△ D E G$ 是等腰直角三角形；

想法二：过点 $D$ 作 $D F$ 的垂线，交 $B A$ 的延长线于 $H$ ，可得 $△ D F H$ 是等腰直角三角形，证明 $H F = E G$ ；

……

请参考以上想法，帮助小华证明 $E G = \sqrt{2} D F$ ．(写出一种方法即可)

查看试题解析
28. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，存在半径为2，圆心为(0，2)的 $⊙ W$ ，点P为 $⊙ W$ 上的任意一点，线段 $P O$ 绕点P逆时针旋转90°得到线段 $P O^{'}$ ，如果点M在线段 $P O^{'}$ 上，那么称点M为 $⊙ W$ 的“限距点”．

(1)、在点 $A (4 ， 0) ， B (1 ， 2) ， C (0 ， 4)$ 中， $⊙ W$ 的“限距点”为；

(2)、如果过点 $N (0 ， a)$ 且平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 上始终存在 $⊙ W$ 的“限距点”，画出示意图并直接写出a的取值范围；

(3)、 $⊙ G$ 的圆心为 $(b ， 2)$ ，半径为1，如果 $⊙ G$ 上始终存在 $⊙ W$ 的“限距点”，请直接写出b的取值范围．

查看试题解析

客车类型	载客量(人/辆)	租金(元/辆)
$A$ 型	45	400
$B$ 型	30	280

学校	平均数	中位数	众数
甲校	75	$m$	90
乙校	75	76	85