北京市海淀区2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若代数式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 2$ C、 $x \neq 0$ D、 $x \neq 2$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 cm$ ，通过测量，并计算 $△ A B C$ 的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）

A、 $1.5 {cm}^{2}$ B、 ${2cm}^{2}$ C、 $2 {.5cm}^{2}$ D、 ${3cm}^{2}$

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4. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）

A、区域①处 B、区域②处 C、区域③处 D、区域④处

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E F / / B C$ ， $E D$ 平分 $∠ B E F$ ，且 $∠ D E F = 70 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、70° B、60° C、50° D、40°

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6. 如果 $a^{2} - a - 2 = 0$ ，那么代数式 ${(a - 1)}^{2} + (a + 2) (a - 2)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图， $⊙ O$ 的半径等于4，如果弦 $A B$ 所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦 $A B$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (a ， b)$ ，若 $a b > 0$ ，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = x^{2} - 2 x$ C、 $y = - \frac{2}{x}$ D、 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$

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二、填空题

9. 单项式 ${3x}^{2} y$ 的系数是.

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10. 如图，点A ， B ， C在 $⊙ O$ 上，点D在 $⊙ O$ 内，则 $∠ A C B$ $∠ A D B$ ．（填“>”，“=”或“<”）

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11. 下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：

投篮次数n	48	82	124	176	230	287	328
投中次数m	33	59	83	118	159	195	223
投中频率 $\frac{m}{n}$	0.69	0.72	0.67	0.67	0.69	0.68	0.68

根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为．（结果精确到0.01）

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12. 函数 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的图象上有两点 $P_{1} (- 1, y_{1}), P_{2} (1, y_{2})$ ，若 $y_{1} < y_{2}$ ，写出一个正确的k的值：．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C ， ∠ A B C = 120 °$ ，过点B作 $B D ⊥ B C$ ，交 $A C$ 于点D ，若 $A D = 1$ ，则 $C D$ 的长度为．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $C (3 ， 2)$ ，将 $△ A B C$ 关于直线 $x = 4$ 对称，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则点C的对应点 $C_{1}$ 的坐标为；再将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向上平移一个单位长度，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，则点 $C_{1}$ 的对应点 $C_{2}$ 的坐标为．

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15. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行 $18 km$ ，小明每小时骑行 $12km$ ，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为 $x km$ ，依题意，可列方程为．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，有五个点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， - 2) ， C (- 2 ， 4) ， D (4 ， - 2) ， E (7 ， 0)$ ，将二次函数 $y = a {(x - 2)}^{2} + m (m \neq 0)$ 的图象记为W ．下列的判断中
①点A一定不在W上；

②点B ， C ， D可以同时在W上；

③点C ， E不可能同时在W上．

所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(2020 - π)}^{0} + | \sqrt{3} - 1 | - 2 \cos 30^{°}$ ．

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18. 解不等式 $2 (x - 1) < 4 - x$ ，并在数轴上表示出它的解集．

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19. 下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P ．

求作：直线 $P Q$ ，使得 $P Q / / l$ ．

作法：如图，

①在直线l外取一点A ，作射线 $A P$ 与直线l交于点B ，

②以A为圆心， $A B$ 为半径画弧与直线l交于点C ，连接 $A C$ ，

③以A为圆心， $A P$ 为半径画弧与线段 $A C$ 交于点 $Q$ ，

则直线 $P Q$ 即为所求．

根据小王设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $A B = A C$ ，

∴ $∠ A B C = ∠ A C B$ ，（     ▲    ）（填推理的依据）．

∵ $A P =$      ▲    ，

∴ $∠ A P Q = ∠ A Q P$ ．

∵ $∠ A B C + ∠ A C B + ∠ A = 180 ° ， ∠ A P Q + ∠ A Q P + ∠ A = 180 °$ ，

∴ $∠ A P Q = ∠ A B C$ ．

∴ $P Q / / B C$ （     ▲    ）（填推理的依据）．

即 $P Q / / l$ ．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + n = 0$ ．

(1)、如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；

(2)、如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D为 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ，过点A作 $A G / / D C$ ，过点C作 $C G / / D A ， A G$ 与 $C G$ 相交于点G ．

(1)、求证：四边形 $A D C G$ 是菱形

(2)、若 $A B = 10 ， \tan ∠ C A G = \frac{3}{4}$ ，求 $B C$ 的长．

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22. 坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．
图1反映了2014—2019年我国生活垃圾清运量的情况．

图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．

根据以上材料回答下列问题：

(1)、图2中，n的值为；

(2)、2014—2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是；

(3)、据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点， $C E ⊥ A B$ 于点E ， $⊙ O$ 的切线 $B D$ 交 $O C$ 的延长线于点D ．

(1)、求证： $∠ D B C = ∠ O C A$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 30 ° ， A C = 2$ ．求 $C D$ 的长．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $y = k x (k \neq 0)$ 交于点 $P (1 ， p)$ ．M是函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 图象上一点，过M作x轴的平行线交直线 $y = k x (k \neq 0)$ 于点N ．

(1)、求k和p的值；

(2)、设点M的横坐标为m ．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）

②若 $△ O M N$ 的面积大于 $\frac{1}{2}$ ，结合图象直接写出m的取值范围．

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25. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D ， ∠ B = ∠ A C D = 90 ° ， A C - A B = 1$ ．为了研究图中线段之间的数量关系，设 $A B = x ， A D = y$ ．

(1)、由题意可得 $\frac{A B}{A C} = \frac{()}{A D}$ ，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为 $y =$ ；

(2)、如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；

(3)、①当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大（答（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：；

②估计 $A B + A D$ 的最小值为．（结果精确到0.1）

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知二次函数 $y = m x^{2} + 2 m x + 3$ 的图象与x轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ ，与y轴交于点B ，将其图象在点A ， B之间的部分（含A ， B两点）记为F ．

(1)、求点B的坐标及该函数的表达式；

(2)、若二次函数 $y = x^{2} + 2 x + a$ 的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

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27. 如图1，等边三角形 $A B C$ 中，D为 $B C$ 边上一点，满足 $B D < C D$ ，连接 $A D$ ，以点A为中心，将射线 $A D$ 顺时针旋转60°，与 $△ A B C$ 的外角平分线 $B M$ 交于点E ．

(1)、依题意补全图1；

(2)、求证： $A D = A E$ ；

(3)、若点B关于直线 $A D$ 的对称点为F ，连接 $C F$ ．求证： $A E / / C F$ ；

(4)、若点B关于直线 $A D$ 的对称点为F ，连接 $C F$ 若 $B E + C F = A B$ 成立，直接写出 $∠ B A D$ 的度数为°．

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28. 在平面内，对于给定的 $△ A B C$ ，如果存在一个半圆或优弧与 $△ A B C$ 的两边相切，且该弧上的所有点都在 $△ A B C$ 的内部或边上，则称这样的弧为 $△ A B C$ 的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为 $△ A B C$ 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (8 ， 0) ， B (0 ， 6)$ ．

(1)、如图1，在弧 $G_{1}$ ，弧 $G_{2}$ ，弧 $G_{3}$ 中，是 $△ O A B$ 的内切弧的是；

(2)、如图2，若弧G为 $△ O A B$ 的内切弧，且弧G与边 $A B ， O B$ 相切，求弧G的半径的最大值；

(3)、如图3，动点 $M (m ， 3)$ ，连接 $O M ， A M$ ．
①直接写出 $△ O A M$ 的完美内切弧的半径的最大值；

②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P为弧T上的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交x轴和直线 $A B$ 于点D ， E ，点F为线段 $P E$ 的中点，直接写出线段 $D F$ 长度的取值范围．

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