北京市房山区中考2020年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-09 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000科学记数法表示为（）

A、 $8.2 \times 10^{9}$ B、 $0.82 \times 10^{9}$ C、 $8.2 \times 10^{8}$ D、 $82 \times 10^{7}$

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2. 下图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A、长方体 B、正方体 C、圆柱 D、三棱柱

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3. 实数 $a ， b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

A、 $| b | < a$ B、 $- a < b$ C、 $a + b > 0$ D、 $| a | > b$

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4. 《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如右统计表：在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）

A、1.6，1.5 B、1.7，1.6 C、1.7，1.7 D、1.7，1.55

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，延长 $A D$ 至点E，使 $A D = 2 D E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F，交 $A C$ 于点G，则 $\frac{C G}{A G}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果

下面有三个推断：

①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．

其中合理的是（　　）

A、① B、② C、①② D、①③

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8. 2020年是5G爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着5G建设的步伐．某通信公司实行的5G畅想套餐，部分套餐资费标准如下：

套餐类型	月费（元/月）	套餐内包含内容		套餐外资费
套餐类型	月费（元/月）	国内数据流量（GB）	国内主叫（分钟）	国内流量	国内主叫
套餐1	128	30	200	每5元1GB，用满3GB后每3元1GB，不足部分按照0.03/元MB收取	0.19元/分钟
套餐2	158	40	300
套餐3	198	60	500
套餐4	238	80	600

小武每月大约使用国内数据流量49GB，国内主叫350分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（）

A、套餐1 B、套餐2 C、套餐3 D、套餐4

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 的值为0，则x的值是．

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10. 如图，扇形 $A O B$ ，通过测量、计算，得 $\overset{⌢}{A B}$ 的长约为 $cm$ ．（π取3.14，结果保留一位小数）

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11. 如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点 $(- 3 ， - 2)$ ，“炮”位于点 $(- 2 ， 0)$ ，则“兵”位于的点的坐标为．

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12. 如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有 $a ， b$ 的正确的等式．

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13. 已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的方差是 $S^{2}$ ，那么另一组数据 $x_{1} - 3, x_{2} - 3, x_{3} - 3, \dots, x_{n} - 3$ 的方差是．

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14. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”
译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”

如图，我们用点 $A ， B ， C$ 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度 $B C$ 为x尺，则可列方程为．

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15. 下面是“作一个 $30^{°}$ 角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A ．

求作： $∠ A$ ，使得 $∠ A = 30^{°}$ ．

作法：如图，

①作射线 $A B$ ；

②在射线 $A B$ 取一点O ，以O为圆心， $O A$ 为半径作圆，与射线 $A B$ 相交于点C；

③以C为圆心， $O C$ C为半径作弧，与 $⊙ O$ 交于点D ，作射线 $A D$ ．

则 $∠ D A B$ 即为所求的角．

请回答：该尺规作图的依据是．

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三、解答题

16. 如果 $m + n = 4$ ，那么代数式 $(\frac{m^{2} + n^{2}}{m} + 2 n) \cdot \frac{2 m}{m + n}$ 的值为．

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17. 计算： $\sqrt{18} - {(\frac{1}{5})}^{- 1} + 4 \sin 30^{°} + | \sqrt{2} - 1 |$

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x + 1) < 2 x, \\ \frac{x - 1}{2} < x + 2. \end{array}$

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D ， $D E / / A B$ 交 $B C$ 于点 $E ， F$ 是 $B D$ 中点．

求证： $E F$ 平分 $∠ B E D$ ．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求此方程的根；

(2)、若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 中，分别延长 $D C ， B C$ 至点 $E ， F$ ，使 $C E = C D$ ， $C F = C B$ ，连接 $D B$ ， $B E$ ， $E F$ ， $F D$ ．

(1)、求证：四边形 $D B E F$ 是矩形；

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $y = x - 1$ 交于点 $A (3 ， m)$

(1)、求k的值；

(2)、已知点 $P (n ， 0) (n > 0)$ ，过点P作垂直于x轴的直线，交直线 $y = x - 1$ 于点B ，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 于点C ．
①当 $n = 4$ 时，判断线段 $P C$ 与 $B C$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $P C ⩽ B C$ ，结合图象，直接写出n的取值范围．

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23. 图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，以 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点D ， E是 $A C$ 中点，连接 $D E$ ．

(1)、判断 $D E$ 与 $⊙ O$ 的位置关系并说明理由；

(2)、设 $C D$ 与 $O E$ 的交点为F ，若 $A B = 10 ， B C = 6$ ，求 $O F$ 的长．

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24. GDP是指一个国家（或地区）在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量经济状况的最佳指标．截止2020年4月27日，对除西藏外的30个省区市第一季度有关 $G D P$ 的数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

a．各省区市 $G D P$ 数据的频数分布直方图，如图1（数据分成6组，各组是 $0 < x \leq 4$ ， $4 < x \leq 8$ ， $8 < x \leq 12$ ， $12 < x ⩽ 16$ ， $16 < x ⩽ 20$ ， $20 < x \leq 24$ ）：

b.2020年第一季度 $G D P$ 数据在这一组的是：4.6 4.9 5.0 5.1 5.3 5.4 6.3 7.4 7.5 7.8 7.8

c.30个省区市2020年第一季度及2019年 $G D P$ 增速排名统计图，如图2：

d．北京2020年第一季度 $G D P$ 数据约为7.5千亿， $G D P$ 增速排名为第22．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、在30个省区市中，北京2020年第一季度 $G D P$ 的数据排名第．

(2)、在30个省区市2020年第一季度及2019年 $G D P$ 增速排名统计图中，请在图中用“○”圈出代表北京的点．

(3)、2020年第一季度 $G D P$ 增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年 $G D P$ 增速排名的最好成绩是第．

(4)、下列推断合理的是．
①与2019年 $G D P$ 增速排名相比，在疫情冲击下，2020年全国第一季度增速排名，部分省市有较大下滑，如D代表的湖北排名下滑最多．

②A、B、C分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流入，经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于2019年 $G D P$ 增速排名位置靠前．

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25. 已知线段

A B = 6 c m

，点M是线段

A B

上一动点，以

A B

为直径作

⊙ O

，点C是圆周上一点且

A C = 4 c m

，连接

C M

，过点A做直线

C M

的垂线，交

⊙ O

于点N ，连接

C N

，设线段

A M

的长为

x cm

，线段

A N

的长为

y_{1} cm

，线段

C N

的长为

y_{2} cm

．

小华同学根据学习函数的经验，分别对函数 $y_{1} ， y_{2}$ ，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是该同学的探究过程，请补充完整：

(1)、按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了

y_{1} ， y_{2}

与x的几组对应值：

$x (cm)$	0	1	2	3	4	5	6
$y_{1} (cm)$	4.47	5.24	5.86	5.96		4.72	4.00
$y_{2} (cm)$	6.00	5.86	5.23	3.98	2.46	1.06	0

请你补全表格的相关数值，保留两位小数．

(2)、在同一平面直角坐标系

x O y

中，描出补全后的表中各组数值所对应的点

(x ， y_{1})

，

(x ， y_{2})

，并画出函数

y_{1} ， y_{2}

的图象（函数

y_{2}

的图象如图，请你画出

y_{1}

的图象）

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：当

Δ C A N

是等腰三角形时，

A M

的长度约为

cm

．

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26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c$ 与x轴交于点 $A ， B$ ，且 $A B = 4$ ．抛物线与y轴交于点C ，将点C向上移动1个单位得到点D ．

(1)、求抛物线对称轴；

(2)、求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；

(3)、已知点 $P (- 4 ， 4)$ ，若抛物线与线段 $P D$ 只有一个公共点，求a的取值范围．

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27. 点C为线段 $A B$ 上一点，以 $A C$ 为斜边作等腰 $R t △ A D C$ ，连接 $B D$ ，在 $△ A B D$ 外侧，以 $B D$ 为斜边作等腰 $R t △ B E D$ ，连接 $E C$ ．

(1)、如图1，当 $∠ D B A = 30 °$ 时：
①求证： $A C = B D$ ；

②判断线段 $E C$ 与 $E B$ 的数量关系，并证明；

(2)、如图2，当 $0 ° < ∠ D B A < 45 °$ 时， $E C$ 与 $E B$ 的数量关系是否保持不变？
对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：

想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段 $B D$ 垂线，交 $B E$ 延长线于点G ，连接 $C G$ ；通过证明 $△ A D B ≌ △ C D G$ 解决以上问题；

想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段 $A B$ 垂线，垂足为点G ，连接 $E G$ ．通过证明 $△ A D B ∽ △ G D E$ 解决以上问题；

想法3：尝试利用四点共圆，过点D作 $A B$ 垂线段 $D F$ ，连接 $E F$ ，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．

请你参考上面的想法，证明 $E C = E B$ （一种方法即可）．

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28. 过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．

(1)、如图，在等腰 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ ．
①在下图中画出一条 $R t Δ A B C$ 的形内弧；

②在 $R t Δ A B C$ 中，其形内弧的长度最长为．

(2)、在平面直角坐标系中，点 $D (- 2 ， 0)$ ， $E (2 ， 0)$ ， $F (0 ， 1)$ ．点M为 $Δ D E F$ 形内弧所在圆的圆心．求点M纵坐标 $y_{M}$ 的取值范围；

(3)、在平面直角坐标系中，点 $M (2 ， 2 \sqrt{3})$ ，点G为x轴上一点．点P为 $Δ O M G$ 最长形内弧所在圆的圆心，求点P纵坐标 $y_{p}$ 的取值范围．

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