广东省深圳市四校2019-2020学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2020-07-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x - 2 < 0} ， N = {y | y = 2^{x}} ，$ 则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 2}$ D、 ${x | x > 0}$

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2. 若复数z满足 $z (1 + i) = | 1 + \sqrt{3} i |$ ，则复数z的虚部是（）

A、-i B、-1 C、i D、1

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3. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $< \vec{a}, \vec{b} > = \frac{π}{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + t \vec{b})$ ，则实数t的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、-2 C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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4. 已知 $a = \log_{0.2} 2$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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5. 下列命题中，真命题是（）

A、 $\forall x \in R, 2^{x} > x^{2}$ ； B、命题“ $\forall x \in R ， sin x \leq 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R ， sin x > 1$ ”； C、“ $x = \frac{π}{3}$ ”是“ $sin (x + \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}$ ”的充分不必要条件； D、函数 $f (x) = \sqrt{x} - cos x$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 内有且仅有两个零点.

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6. 已知正项等比数列{a_n}，若向量 $\vec{a} = (8, a_{2})$ ， $\vec{b} = (a_{8} ， 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \dots + \log_{2} a_{9}$ ＝（）

A、12 B、 $8 + \log_{2} 5$ C、5 D、18

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7. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ 3 x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $3 x + 2 y$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

	空调类	冰箱类	小家电类	其它类
营业收入占比	90.10%	4.98%	3.82%	1.10%
净利润占比	95.80%	$- 0.48 %$	3.82%	0.86%

则下列判断中不正确的是（）

A、该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B、该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C、该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D、剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

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9. $△ A B C$ 中，点D在线段 $A B$ （不含端点）上，且满足 $\vec{C D} = x \vec{C A} + y \vec{C B} (x ， y \in R)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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10. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为过 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线与双曲线的一个交点，且 $∠ P F_{2} F_{1} = 2 ∠ P F_{1} F_{2}$ ，则C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（）

A、 $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $2 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $2 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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12. 函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的可导函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $x f^{'} (x) + 2 f (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{(x + 2020) f (x + 2020)}{2} < \frac{2 f (2)}{x + 2020}$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 2018}$ B、 ${x | x < - 2017}$ C、 ${x | - 2020 < x < - 2018}$ D、 ${x | - 2020 < x < - 2017}$

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二、填空题

13. ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)

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14. 已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点( $- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5}$ )，则 $\cos (2 α + \frac{3 π}{2})$ =.

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15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为.

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三、双空题

16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足 $λ = \frac{1}{2}$ 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y²=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则 $\frac{1}{2} | P B | + | P Q | + | Q H |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} ， \cos \frac{x}{2})$ ， $\vec{n} = (\sin \frac{x}{2}, 1)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $f (B) = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是首项为1，公差为1的等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为T_n ，求T₂₀₂₀.

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19. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $B A = B C$ ， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ .

（Ⅰ）证明： $B D ⊥ A C$ ；

（Ⅱ）若 $∠ A B D = 60 °$ ， $B A = 2$ ，四面体 $A B C D$ 的体积为2，求二面角 $B - A C - D$ 的余弦值.

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20. 2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施.如测量体温、有效隔离等.
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ -2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ -3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9974}^{100} \approx 0.7708$ .

参考公式与临界值表： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

$k_{0}$

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

(1)、现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本.据分析，人群体温近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ .若X表示所采集100个样本的数值在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 之外的的个数，求 $P (X = 0)$ 及X的数学期望.

(2)、疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据.请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为 $k_{1} 、 k_{2} 、 k_{3}$ .

(1)、求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(2)、若 $k_{3} = 2 k_{1}$ ，求证： $B P ⊥ B Q$ ，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (a - 3) x + 2 a \ln x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x + 4 y + 3 = 0$ 垂直，求实数a的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域上有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
①求实数a的取值范围；

②求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 10 > 0$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828