广东省潮州市2019-2020学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-07-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = a^{x +}^{1} - 3 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象经过定点P，且点 $P$ 在角 $θ$ 的终边上，则 $\tan θ$ 的值等于（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、－2 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 与直线 $x - 2 y - 3 = 0$ 垂直，则 $\cos (\frac{2019 π}{2} - α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知 $\overset{⇀}{A B}$ =(2，3)， $\overset{⇀}{A C}$ =(3，t)， $| \overset{⇀}{B C} |$ =1，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}$ =（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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4. 已知sin θ＋cos θ＝ $\frac{4}{3}$ ，θ∈ $(0 ， \frac{π}{4})$ ，则sin θ－cos θ的值为（）

A、－ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、－ $\frac{1}{3}$

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5. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ )单调递增的是（）

A、f(x)=│cos2x│ B、f(x)=│sin 2x│ C、f(x)=cos│x│ D、f(x)= sin│x│

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6. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 是奇函数，将 $y = f (x)$ 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 $g (x)$ .若 $g (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，且 $g (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，则 $f (\frac{3 π}{8}) =$ （）

A、-2 B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，点O在线段 $C D$ 上（与点C，D不重合）若 $\vec{A O} = x \vec{A B} + (1 - x) \vec{A C}$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$

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8. 函数y= $2^{| x |}$ sin2x的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $\vec{c} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ ， $| \vec{d} - \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，则 $| \vec{d} |$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2 \sqrt{2}]$ B、[0，2] C、 $[0 ， \sqrt{2}]$ D、[0，1]

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10. 在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C B = 2$ ， $C A = 4$ ， $P$ 在边 $A C$ 的中线 $B D$ 上，则 $\overset{⇀}{C P} \cdot \overset{⇀}{B P}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、4 D、-1

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11. 已知函数 $f (x) = \sin x - \sin 3 x, x \in [0, 2 π]$ ，则 $f (x)$ 的所有零点之和等于（）

A、8π B、7π C、6π D、5π

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12. 已知A，B，C，D是函数 $y = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 一个周期内的图象上的四个点，如图所示， $A (- \frac{π}{6} ， 0)$ ，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称， $\overset{⇀}{C D}$ 在x轴上的投影为 $\frac{π}{12}$ ，则ω，φ的值为（）

A、ω＝2，φ＝ $\frac{π}{3}$ B、ω＝2，φ＝ $\frac{π}{6}$ C、ω＝ $\frac{1}{2}$ ，φ＝ $\frac{π}{3}$ D、ω＝ $\frac{1}{2}$ ，φ＝ $\frac{π}{6}$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (t, 8)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 1)$ ，若 $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $t =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 1 + 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ．若不等式 $f (x) - m < 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，则实数m的取值范围为.

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15. 设函数 $\frac{1}{2} T = π \frac{7 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{T}{4}$ （ $A ， ω ， φ$ 是常数， $A > 0 ， ω > 0$ ）.若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上具有单调性，且 $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3}) = - f (\frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，记函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + \frac{π}{4}]$ 上的最大值为M，最小值为m，设函数 $h (t) = M_{t} - m_{t}$ .若 $t \in [\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ ，则函数 $h (t)$ 的值域为.

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三、解答题

17. 某同学用“五点法”画函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})

在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$x$		$\frac{π}{3}$		$\frac{5 π}{6}$
$A \sin (ω x + φ)$	0	5		-5	0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平行移动 $θ$ $(θ > 0)$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象．若 $y = g (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ，求 $θ$ 的最小值．

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18.

(1)、已知 $\tan α = - \frac{4}{3}$ ，求 $\sin^{2} α + 2 \sin α \cos α$ 的值．

(2)、在三角形 $A B C$ 中，点P是 $A B$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，Q是 $B C$ 的中点， $A Q$ 与 $C P$ 的交点为M，又 $\vec{C M} = t \vec{C P}$ ，求实数t的值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (m x^{2}, - 1)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{m x - 1}, x)$ （m是常数），且 $f (x) = \frac{1}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$ .

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求m的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (\frac{x}{2}) - \frac{x}{2}$ ，讨论当实数m变化时，函数 $g (x)$ 的零点个数．

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20. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 1)$ ， $A (1, 0)$ ， $B (\cos θ, t)$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{A B}$ ，且 $| \overset{⇀}{A B} | = \sqrt{5} | \overset{⇀}{O A} |$ ，求向量 $\overset{⇀}{O B}$ 的坐标.

(2)、若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{A B}$ ，求 $y = \cos^{2} θ - \cos θ + t^{2}$ 的最小值.

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21. 已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+ $\frac{π}{6}$ ）+2a+b，当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，-5≤f（x）≤1．

(1)、求常数a，b的值；

(2)、设g（x）=f（x+ $\frac{π}{2}$ ）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．

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22. 已知圆C：（x﹣a）²+（y﹣b）²=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 6$ （O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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