山东省潍坊市2020届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则A∩ $($ ∁_UB $)$ ＝（）

A、{1，4} B、{1，4，5} C、{4，5} D、{6，7}

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2. 若复数 $z = \frac{a + i}{1 - i}$ 在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（）

A、1 B、0 C、﹣1 D、﹣2

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3. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）

A、甲是律师，乙是医生，丙是记者 B、甲是医生，乙是记者，丙是律师 C、甲是医生，乙是律师，丙是记者 D、甲是记者，乙是医生，丙是律师

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4. 以抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 $x {}^{2}+ {(y + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ D、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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5. 设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e^x﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0的解集为（）

A、（﹣∞，1） B、（﹣∞， $\frac{1}{3}$ ） C、（ $\frac{1}{3}$ ，+∞） D、（1，+∞）

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6. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为（）

A、94 B、95 C、96 D、98

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7. 在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{24}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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8. 已知O为坐标原点，双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若 $\vec{A B} \cdot \vec{O B} = 0$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、多选题

9. 我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）

A、我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增 B、2011年我国粮食年产量的年增长率最大 C、2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定 D、2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰

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10. 若 $g (t)$ ， $c > 0$ 则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{b} < b - \frac{1}{a}$ C、 $\ln (b - a) > 0$ D、 ${(\frac{a}{b})}^{c} > {(\frac{b}{a})}^{c}$

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11. 在单位圆O：x²+y²＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（）

A、x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数 B、x＝f（θ）在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 为增函数，y＝g（θ）在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 为减函数 C、f（θ）+g（θ）≥1对于 $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 恒成立 D、函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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12. 如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（）

A、若AB $//$ CD，则MN $//$ l B、若M，N重合，则AC $//$ l C、若AB与CD相交，且AC $//$ l，则BD可以与l相交 D、若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行

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三、填空题

13. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F₁ ， F₂ ，且F₁ ， F₂与水平夹角均为45°， $\vec{| F_{1} |} = | \vec{F_{2}} | = 10 \sqrt{2} N$ ，则物体的重力大小为．

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14. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则tanα＝．

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15. 植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是（用数字作答）．

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四、双空题

16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x \geq 1 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 ， x < 1 \end{array}$ 则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为；设g（x）＝[f（x）]²﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是．

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五、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 2 \sqrt{3} ， A = \frac{π}{3}$ ，

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ，求b；

(2)、求△ABC面积的最大值．

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18. 已知数列{a_n}为正项等比数列，a₁＝1，数列{b_n}满足b₂＝3，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n＝3+（2n﹣3）2ⁿ ．

(1)、求a_n；

(2)、求 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和T_n ．

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19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，③∠ABC $= \frac{π}{3}$ ．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F．

(1)、在线段AB上是否存在一点G，使得AF $//$ 平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；

(2)、若，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

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20. 已知函数f（x） $= \frac{1}{x} + a l n x ， g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ，

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、证明：a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1 $+ \frac{e}{x^{2}}$ ）lnx＞e．

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21. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表

年份	2015	2016	2017	2018	2019
编号	1	2	3	4	5
企业总数量y（单位：千个）	2.156	3.727	8.305	24.279	36.224

注：参考数据 $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 74.691 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 312.761 ， \sum_{i = 1}^{5} z_{i} = 10.980 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} z_{i} = 40.457$ （其中z＝lny）．

附：样本（x_i ， y_i）（i＝1，2，…，n）的最小二乘法估计公式为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、根据表中数据判断，y＝a+bx与y＝ce^dx（其中e＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的结果，求y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；

(3)、为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为

\frac{1}{3}

，甲胜丙的概率为

\frac{3}{5}

，乙胜丙的概率为

\frac{1}{2}

，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2 ， 1)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆C的左、右焦点且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 1$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线 $l_{2}$ 平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线x＝2交于点M（M介于A、B两点之间）．
（I）当△PAB面积最大时，求 $l_{2}$ 的方程；

（II）求证： $| P A | | M B | = | P B | | M A |$ .

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