山东省泰安市2020届高三数学6月全真模拟（三模)试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 5 < 0}, B = {x | 1 - x > 0} ，$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 5)$ D、 $(0 ， 5)$

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2. 设复数 $z$ 满足 ${(1 - i)}^{2} z = 5 + 2 i$ ，则z的虚部为（）

A、-1 B、-i C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2^{x} - 4^{x}}}$ ，则函数 $\frac{f (x - 1)}{x + 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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4. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的准线恰好与圆 $M : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 设p：实数 $x$ 满足 $x^{2} - (a + 1) x + a \leq 0 (0 < a < 5)$ ，q：实数 $x$ 满足 $\ln x < 2$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱 $E F = \frac{3}{2}$ ，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（）

A、6 B、 $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{31}{4}$ D、12

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7. 函数 $f (x) = x^{3} \cos \frac{x}{2} + \sin x$ 在 $[- π ， π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a + 2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， M$ 是C上位于第一象限内的一点，且直线 $F_{2} M$ 与 $y$ 轴的正半轴交于A点， $Δ A M F_{1}$ 的内切圆在边 $M F_{1}$ 上的切点为N，若 $| M N | = 2$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (- 3, 2), \vec{c} = (1, 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ D、 $\vec{c} = 5 \vec{a} + 3 \vec{b}$

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10. 某院校教师情况如下表所示

关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是（）

A、2017年男教师最多 B、该校教师最多的是2018年 C、2017年中年男教师比2016年多80人 D、2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为 $220 %$

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11. 若 ${(1 - 2 x)}^{2009} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2009} x^{2009}$ （ $x \in R$ ），则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2009} = \frac{3^{2009} + 1}{2}$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot + a_{2008} = \frac{3^{2009} - 1}{2}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{2009}}{2^{2009}} = - 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos n x}{\cos x}$ （ $n \in N^{*}$ ），则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 D、 $f (x) \leq n$

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三、填空题

13. 已知直线 $y = x + b$ 是曲线 $y = e^{x} + 3$ 的一条切线，则 $b =$ .

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14. 已知 $2 \sin 2 α = \cos α = \sin β,$ 且 $α ， β \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (2 α + β) =$ .

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15. 甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是.（用数字作答）

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16. 已知球O是正三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $A B = 3$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是.

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四、解答题

17. 在① $S_{n} = n^{2} + n$ ，② $a_{3} + a_{5} = 16, S_{3} + S_{5} = 42$ ，③ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{n}, S_{7} = 56$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，， $b_{1} = a_{1}, b_{2} = \frac{a_{1} a_{2}}{2}$ .

求数列 ${\frac{1}{S_{n}} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. $Δ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 A + \cos 2 B + 2 \sin A \sin B = 1$ $+ \cos 2 C$ .

(1)、求角C.

(2)、设D为边AB的中点， $Δ A B C$ 的面积为2，求 $C D^{2}$ 的最小值.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 为等边三角形，四边形 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P B$ 的中点， $D E ⊥ P B$ .

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、设二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $α$ ，求 $α$ 的取值范围.

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20. 某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．

现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．

(1)、求X的分布列；

(2)、以日利润的期望值为决策依据，在 $n = 15$ 与 $n = 16$ 中选其一，应选用哪个?

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y {}^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原原点，点O到直线AB的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $Δ O A B$ 的面积为1．

(1)、求榷圆的标准方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆交于C，D两点，若直线 $l / /$ 直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ 有两个零点．

(1)、求a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，证明： $f^{'} (x_{1} \cdot x_{2}) < 1 - a$ ．

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