山东省济宁市2020届高三数学6月高考模拟考试（三模)试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 5} ， B = {- 3 ， - 2 ， 1 ， 2 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， 2}$ B、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 3 ， 2}$ D、 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$

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2. i为虚数单位，复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 2 i} + 1 + i$ ，复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、i B、 $- 2 i$ C、-2 D、1

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3. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是非零向量，“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{6} (x + 3)$ 的展开式中，常数项为（）

A、 $- \frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设 $a = \frac{1}{4} \log_{2} \frac{1}{3} ， b = {(\frac{1}{2})}^{0.3}$ 则有（）

A、 $a + b > a b$ B、 $a + b < a b$ C、 $a + b = a b$ D、 $a - b = a b$

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积V，求这个球的直径d的近似公式，即 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ .随着人们对圆周率π值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式.若取 $π = 3.14$ ，试判断下列近似公式中最精确的一个是（）

A、 $d \approx \sqrt[3]{2 V}$ B、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ C、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{20}{11} V}$ D、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{21}{11} V}$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足 $\vec{A F} = 2 \vec{F B} ， E$ 为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为（）

A、 $\frac{11}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B、某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C、回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 D、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.1 x + 10$ 中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位

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10. 线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且 $A B = 2 ， A D = E F = 1$ .则（）

A、DF//平面BCE B、异面直线BF与DC所成的角为30° C、△EFC为直角三角形 D、 $V_{C - B E F} ： V_{F - A B C D} = 1 ： 4$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin [\cos x] + \cos [\sin x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过实数x的最大整数，下列关于 $f (x)$ 结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = \cos 1$ B、 $f (x)$ 的一个周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的最大值大于 $\sqrt{2}$

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12. 已知直线 $y = - x + 2$ 分别与函数 $y = e^{x}$ 和 $y = \ln x$ 的图象交于点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $e^{x_{1}} + e^{x_{2}} > 2 e$ C、 $x_{1} \ln x_{2} + x_{2} \ln x_{1} < 0$ D、 $x_{1} x_{2} > \frac{\sqrt{e}}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $\tan (π - α) = 2$ ，则 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} =$ .

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14. 在平行四边形ABCD中， $A D = 6 ， A B = 3$ ， $∠ D A B = 60^{\circ} ， \vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ ，若 $\vec{F G} = 2 \vec{G E}$ ，则 $\vec{A G} \cdot \vec{B D} =$ .

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15. 设双曲线 $C ： \frac{x {}^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, | F_{1} F_{2} | = 2 c$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为 $(c, \frac{3 a}{2})$ 且满足 $| F_{2} Q | > | F_{2} A |$ ，若在双曲线C的右支上存在点P使得 $| P F_{1} | + | P Q | < \frac{7}{6} | F_{1} F_{2} |$ 成立，则双曲线的离心率的取值范围是.

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四、双空题

16. 5人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是.(用数字作答)；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是(用数字作答)

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五、解答题

17. 如图，在四边形ABCD中， $A B ⊥ A D$ ，_________，DC=2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)① $3 A B = 4 B C ， \sin ∠ A C B = \frac{2}{3}$ ；② $\tan (∠ B A C + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ ；③ $2 B C \cos ∠ A C B = 2 A C - \sqrt{3} A B$ .

(1)、求 $∠ D A C$ 的大小；

(2)、求△ADC面积的最大值.

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18. 如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将 $△$ ABE、 $△$ DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面 $A B E ⊥$ 平面BCE，平面 $D C E ⊥$ 平面BCE.

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面DCE；

(2)、若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前n项和 $S_{n} = \frac{a_{n} (a_{n} + 1)}{2}, n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式a_n；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1}$ ；若称使数列 ${b_{n}}$ 的前N项和为整数的正整数N为“优化数”，试求区间(0，2020)内所有“优化数”的和S.

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20. 过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

该经济农作物亩产量(kg)	900	1200		该经济农作物市场价格(元/kg)	15	20
概率	0.5	0.5		概率	0.4	0.6

(1)、设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；

(2)、若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率；

(3)、2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫?并说明理由.

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21. 已知点F为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点，点A为椭圆的右顶点.

(1)、求过点F、A且和直线 $x = 9$ 相切的圆C的方程；

(2)、过点F任作一条不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线 $x = 9$ 相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.

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22. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x) + b (a ， b \in R)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y - 3 = 0$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) + \frac{a + 1}{x} (a \in R)$ 的极值点；

(3)、设 $h (x) = \frac{1}{a} f (x) + a e^{x} - \frac{x}{a} + \ln a (a > 0)$ ，若当 $x > a$ 时，不等式 $h (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值.

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