山东省德州市2020届高三数学第二次(6月)模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ， M = {1, 3, 4} ， N = {2, 3, 4},$ 则集合 $(C_{U} M) \cup (C_{U} N)$ 等于（）

A、 ${5, 6}$ B、 ${1, 5, 6}$ C、 ${2, 5, 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 5 ， 6}$

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2. 已知实数x，y满足 $x > 1, y > 0,$ 则“ $x < y$ 是 $\log_{x} y > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 $cos θ$ 和 $\sin θ$ 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 $(e^{i π} - z) \cdot i = 1 + i$ 则 | z | =（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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4. 设 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = \vec{a} + k \vec{b}$ ，若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 已知α终边与单位圆的交点 $P (x, - \frac{3}{5}) ，$ 且sinα·cosα>0，则 $\sqrt{1 - \sin 2 α} + \sqrt{2 + 2 \cos 2 α}$ 的值等于（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、3

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6. 某中学共有1000人，其中男生700人，女生300人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时），现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如图.已知在样本数据中，有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理（）

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + c) (b + d) (a + d) (b + c)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.05

0.01

0.005

$k_{0}$

2.706

3.841

6.635

7.879

A、有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关” B、有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” C、有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关” D、有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”

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7. ${(x^{2} - x - a)}^{5}$ 的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含 $x^{9}$ 项的系数是（）

A、-15 B、-5 C、5 D、15

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8. 已知函数f（x）的定义域为R，且 $f (x) + 1 < f^{'} (x) ， f (0) = 2$ ，则不等式 $f (x) + 1 > 3 e^{x}$ 解集为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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二、多选题

9. 若正实数a，b满足 $a + b = 1$ 则下列说法正确的是（）

A、ab有最大值 $\frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值2 D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$

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10. 直线 $y = k x - 1$ 与圆C： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 36$ 相交于A、B两点,则AB长度可能为（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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11. CPI是居民消费价格指数(comsummer priceindex)的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（）

A、2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌 B、2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大 C、2020年1月至2020年4月CPI只跌不涨 D、2019年4月至2019年6月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳

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12. 抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 $M (2 ， 2) ，$ 下列结论正确的是（）

A、|PM| +|PF|的最小值为3 B、抛物线C上的动点到点 $H (0 ， 3)$ 的距离最小值为3 C、存在直线l，使得A，B两点关于 $x + y - 3 = 0$ 对称 D、若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2

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三、填空题

13. 已知双曲线C过点 $(2 \sqrt{3}, - 1),$ 且与双曲线 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为.

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14. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时 $， f (x) = e x^{3} + 2 e^{- x} ，$ 则曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是.

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15. 《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} = B C = 2 \sqrt{3} ， A B = 2 ， A C = 4 ，$ 且有鳖臑C_1-ABB₁和鳖臑 $C_{1} - A B C$ ，现将鳖臑 $C_{1} - A B C$ 沿线BC₁翻折，使点C与点B₁重合，则鳖臑 $C_{1} - A B C$ 经翻折后，与鳖臑 $C_{1} - A B B_{1}$ 拼接成的几何体的外接球的表面积是.

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四、双空题

16. 声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + φ) (- π \leq φ \leq π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，与纯音的数学模型函数 $y = 2 \sin 2 x$ 图象重合，则 $φ =$ ，若函数 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是.

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五、解答题

17. 已知D是 $Δ A B C$ 边AC上的一点 $， Δ A B D$ 面积是 $Δ B C D$ 面积的3倍， $∠ A B D = 2 ∠ C B D = 2 θ .$

(1)、若∠ABC= $\frac{π}{2}$ ，求 $\frac{\sin A}{\sin C}$ 的值；

(2)、若BC= $\sqrt{2}$ ，AB=3，求边AC的长.

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18. 给出以下三个条件:
①数列 ${a_{n}}$ 是首项为 2，满足 $S_{n + 1} = 4 S_{n} + 2$ 的数列；

②数列 ${a_{n}}$ 是首项为2，满足 $3 S_{n} = 2^{2 n + 1} + λ$ （λ∈R）的数列；

③数列 ${a_{n}}$ 是首项为2，满足 $3 S_{n} = a_{n + 1} - 2$ 的数列..

请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.

设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n}$ 与 $S_{n}$ 满足，记数列 $b_{n} = \log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \dots + \log_{2} a_{n}$ ， $c_{n} = \frac{n^{2} + n}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列{ $c_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ ；

（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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19. 如图，已知平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C$ ，直线 $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $D A = A B = A C$ .

(1)、求证： $D A //$ 平面 $E B C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， DE⊥平面 BCE ，求二面角 $A - B D - E$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆C ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3} b^{2}$ 相交于M，N，P，Q四点，四边形MNPQ为正方形，△PF₁F₂的周长为 $2 (\sqrt{2} + 1) .$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l与椭圆C相交于A、B两点 $， D (0 ， - 1) ，$ 若直线AD与直线BD的斜率之积为 $\frac{1}{6}$ ，证明：直线恒过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - a x + a \ln 2 x (a \neq 0)$

(1)、若 $a < 0$ 时 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值是 $\frac{5}{4} - \ln 2$ ，求a；

(2)、若 $a \geq e$ ，且x₁ ， x₂是 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{1}{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) - 2 e$ （其中e为自然对数的底数 $, e \approx 2.71 \dots \dots$ ）

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22. 新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）

月份	2020.01	2020.02	2020.03	2020.04	2020.05
月份编号 $t$	1	2	3	4	5
竞拍人数 $y$ （万人）	0.5	0.6	1	1.4	1.7

(1)、由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：

\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}

，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；

(2)、某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：

报价区间（万元）	$[6, 8)$	$[8, 10)$	$[10, 12)$	$[12, 14)$	$[14, 16)$	$[16, 18]$
频数	20	60	60	30	20	10

（i）求这200位竞价人员报价的平均值 $\bar{x}$ 和样本方差s²（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）

（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布 $N (μ, σ^{2}),$ 且μ与σ²可分别由（i）中所示的样本平均数 $\bar{x}$ 及s²估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数 $\bar{x}$ ，请你预测（需说明理由）最低成交价.

参考公式及数据：

①回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

② $\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2} = 55, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 18.8, \sqrt{6.8} \approx 2.6;$

③若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2}),$ 则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544,$

$P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.01	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879