江西省重点中学协作体2020届高三理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {a ， a^{2} ， 0}$ ， $B = {1 ， 2}$ ，若 $A \cap B = {1}$ ，则实数a的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、 $\pm 1$

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2. 设 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ， $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $\frac{7}{5} i$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{7}{5} i$ D、 $- \frac{7}{5}$

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3. 已知 $a = 3^{- 0.2}$ ， $b = \log_{3} 6$ ， $c = \log_{2} \sqrt{7}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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4. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 $a$ 、 $b$ 、 $i$ 的值分别为6、8、0，则输出 $a$ 和 $i$ 的值分别为（）

A、0，3 B、0，4 C、2，3 D、2，4

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5. 在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足 $\vec{B A} + \vec{B C} = 3 \vec{B P}$ ，则 $△ A B P$ 与 $△ A B C$ 面积之比为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 某几何体的三视图如图所示（网格中的每个网格小正方形的边长为单位1），则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $6$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{22}{3}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{+})$ ，则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前10项和 $S_{10} =$ （）

A、 $\frac{9}{28}$ B、 $\frac{27}{28}$ C、 $\frac{10}{31}$ D、 $\frac{30}{31}$

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8. 已知平面四边形ABCD是菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线BD翻折至 $△ A^{'} B D$ 的位置，且二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $24 π$ C、 $28 π$ D、 $32 π$

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9. 已知直线l与双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $x_{1} x_{2} > 0$ ，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，且 $△ A O B$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = \cos x$ ，函数 $g (x)$ 的图象可以由函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 倍得到，若函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4}{9}]$ B、 $[\frac{4}{9} ， \frac{8}{9}]$ C、 $(\frac{4}{9} ， \frac{8}{9}]$ D、 $(0 ， \frac{8}{9}]$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{| x - 1 |} - \sin (x - 1)}{e^{| x - 1 |}}$ ，若 $f (- 2019) + f (- 2018) + \dots + f (2021) = 2020 (a^{2} + b^{2}) + 1$ ， $a ， b \in R$ ．则 $| a - b + 2 \sqrt{2} |$ 的最大值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - 2$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} \ln x - (m - x) e^{\frac{m}{x} - 1}$ ，当 $x \geq e$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 4 e]$ B、 $(- \infty ， 3 e]$ C、 $(- \infty ， 2 e]$ D、 $(- \infty ， \frac{3 e}{2}]$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{13} = 26$ ，则 $3 a_{9} - 2 a_{10} =$ ．

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14. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 > 0 \\ 2 x - y - 2 < 0 \\ x + 2 y - 3 < 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$ 的取值范围为．

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15. 已知 $n = \frac{8}{π} \int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} - 2 x) d x$ ，则 $x {(1 - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中的常数项为．

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16. 在平面四边形ABCD中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = ∠ C = 75 °$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则AB的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边BC上，已知 $2 a \cos C = 2 b + c$ ．

(1)、求A；

(2)、若AM是角A的平分线， $A M = 2 \sqrt{3}$ ，且 $C M = 2 M B$ ，求三角形ABC的面积．

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18. 如图：在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面ABC， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C P = 30 °$ ，且 $A C = 12$ ， $A B = A P = 6$ ．

(1)、若点D为BP上的一动点，求证： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若 $C E = 2 E P$ ，求二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $P (\sqrt{6} ， - 1)$ 是其上的点，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点 $M (0 ， 2 m)$ ，当 $△ A B M$ 面积最大时，求m的值．

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20. 甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第 $n$ 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为 $P_{n}$ （ $1 \leq n \leq 20$ ），其中 $P_{1} = 1$ ，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，如果某位同学有机会答第 $n$ 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题

(1)、请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由

(2)、①求第二轮答题中 $P_{2}$ ， $P_{3}$ ；
②求证 ${P_{n} - \frac{1}{2}}$ 为等比数列，并求 $P_{n}$ （ $1 \leq n \leq 20$ ）的表达式.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ， $h (x) = a f (x) + 2 f (- x) + (2 a - 4) x$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ，e是自然对数的底数）．

(1)、讨论函数 $y = f (a x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $h (x) \geq (a + 2) \cos x$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 如图所示的丘比特爱神之箭是由一颗爱心与一支箭组成，象征着高尚的爱情或强烈的欲望.在极坐标系中，爱心曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} (1 - | \cos α | \cdot \sin α) = 1$ ， $α \in [0 ， 2 π)$ ， $ρ > 0$ 箭所在的直线 $l$ 的方程为： $α = θ$ ， $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．请写出爱心曲线C的普通方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线C交于A，B两点，求 ${| A B |}^{2}$ 的取值范围

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | - | x - a | ， a > 0$

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) < 8$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的图像与x轴围成三角形的面积不小于6，求实数a的取值范围．

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