江西省宜春市2019-2020学年高三理数5月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | > x}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${- 1}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${0, 2, 3}$

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2. 在△ $A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边，若 $a = 2 b cos C$ ，则此三角形一定是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰或直角三角形

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3. 已知函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数为 $f^{'} (x_{0})$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0}) - f (x_{0} - m Δ x)}{Δ x}$ 等于（）

A、 $m f^{'} (x_{0})$ B、 $- m f^{'} (x_{0})$ C、 $- \frac{1}{m} f^{'} (x_{0})$ D、 $\frac{1}{m} f^{'} (x_{0})$

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4. 在 $(2 x + y) {(x - y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{4} y^{2}$ 的系数为（）

A、-20 B、-10 C、15 D、5

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5. 函数 $f (x) = 2020 x + \sin (2020 x)$ ，若满足 $f (x^{2} + x) + f (1 - m) \geq 0$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{4}]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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6. 在新冠肺炎疫情期间，某医院有10名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3名女医生.现从中抽选5名医生，用X表示抽到男医生的人数，则 $X = 3$ 的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{5}{12}$

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7. 元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的 $x = \frac{5}{4}$ ，输出的 $x = 9$ ，则判断框中可以填（）

A、 $k > 4$ B、 $k > 5$ C、 $k > 6$ D、 $k > 7$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D$ ，E是 $B C$ 边上一点且 $\vec{B C} = 3 \vec{E C}$ ，F是 $A E$ 的中点，则下列关系式不正确的是（）

A、 $\vec{B C} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{B F} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\bar{C F} = - \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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9. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形，侧面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ . $C D = P C = P D = 2 \sqrt{6}$ ，若点M为 $P C$ 的中点，则下列说法正确的个数为（）
（1） $P C ⊥$ 平面 $A D M$ （2）四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为12（3） $B M //$ 平面 $P A D$ （4）四棱锥 $M - A B C D$ 外接球的表面积为 $36 π$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太极图案中，阴影部分可表示为 $A = {(x ， y) | x^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq 1 或 {\begin{matrix} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ x^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq 1 \\ x \leq 0 \end{matrix}}$ ，设点 $(x ， y) \in A$ ，则 $z = 3 x + 4 y$ 的最大值与最小值之差为（）

A、19 B、18 C、 $- 1$ D、20

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11. 已知定义在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上的函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则正实数 $ω$ 的取值个数最多为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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12. 已知抛物线C方程为 $x^{2} = 4 y$ ，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则 $| A P | \cdot | B Q |$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 2)$

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二、填空题

13. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为.

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14. 若复数 $z$ 满足方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ ，且 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限，则 $z =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 11$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{n (n + 1)}$ ，若对任意的 $m \in [1, 4]$ ，任意的 $n \in N^{*}$ 使得 $a_{n} < t^{2} + m t$ 恒成立，则实数t的取值范围是.

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16. 已知不等式 $x + m \ln x + \frac{1}{e^{x}} \geq x^{m}$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，则实数m的最小值为.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且各项均为正值， $a_{2} = \frac{1}{16}$ ， $a_{4} a_{6} = 16 a_{3} a_{9}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{4} a_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，四棱锥 $E - A B C D$ 的侧棱 $D E$ 与四棱锥 $F - A B C D$ 的侧棱 $B F$ 都与底面 $A B C D$ 垂直， $A D ⊥ C D$ ， $A B // C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = C D = 4$ ， $A E = 5$ ， $A F = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $D F //$ 平面 $B C E$ ；

(2)、在棱 $A F$ 上是否存在点M，使平面 $A B F$ 与平面 $C D M$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ？如果存在，指出M点的位置；如果不存在，请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a$ ， $g (x) = e^{x} - b$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.

(1)、求 $b - a$ ；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x) - m x + \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2}$ ，证明：当 $m > 1$ 时， $h (x)$ 有且仅有2个零点.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点P是椭圆C上的一个动点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、椭圆C与x轴交于A、B两点，直线 $A P$ 和 $B P$ 与直线l： $x = - 4$ 分别交于点M，N，试探究以 $M N$ 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理由.

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21. 超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（ $n \in N^{*}$ ）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为 $k + 1$ 次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（ $0 < p < 1$ ）.现取其中k（ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 $ξ_{1}$ ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 $ξ_{2}$ .

(1)、运用概率统计的知识，若 $E (ξ_{1}) = E (ξ_{2})$ ，试求P关于k的函数关系式 $p = f (k)$ ；

(2)、若P与抗生素计量 $x_{n}$ 相关，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ （ $n \geq 2$ ）是不同的正实数，满足 $x_{1} = 1$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ （ $n \geq 2$ ），都有 $e^{- \frac{1}{3}} \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{x_{n}^{2}}{x_{i} x_{i + 1}} = \frac{x_{n}^{2} - x_{1}^{2}}{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}$ .
（i）证明： ${x_{n}}$ 为等比数列；

（ii）当 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[8]{x_{7}}}$ 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ， $\ln 4 \approx 1.3863$ ， $\ln 5 \approx 1.6094$ ， $\ln 6 \approx 1.7918$ ，

$\ln 7 \approx 1.9459$ ， $\ln 8 \approx 2.0794$ ， $\ln 9 = 2.1972$ ， $\ln 10 \approx 2.3026$

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{2} t \\ y = - 1 - \sqrt{2} t \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ ，且直线l与曲线C交于M、N两点.

(1)、求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；

(2)、若曲线C外一点 $A (m ， n)$ 恰好落在直线l上，且 $| A M | + | A N | = 3 \sqrt{2}$ ，求m，n的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m | + | 2 x + \frac{4}{m} |$ （ $m > 2$ ）.

(1)、若 $m = 4$ ，求不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、问： $f (x) + \frac{4}{m (m - 2)}$ 是否存在最小值？若存在，请求出m的值：若不存在，请说明理由.

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