江西省南昌市2020届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $(1 + i) z = i$ （i为虚数单位），在复平面内，复数z的共扼复数 $\bar{z}$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | | x - a | = 1}$ ， $B = {1 ， 0 ， b} (b > 0)$ ，若 $A \subseteq B$ ，则对应的实数 $(a ， b)$ 有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：

得分	3	4	5	6	7	8	9	10
频数	2	3	10	6	3	2	2	2

设得分的中位数为 $m_{e}$ ，众数为 $m_{0}$ ，平均数为x，则（）

A、

m_{e} = m_{0} = x

B、

m_{e} = m_{0} < x

C、

m_{e} < m_{0} < x

D、

m_{0} < m_{e} < x

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4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $3 π$ B、 $9 π$ C、 $12 π$ D、 $36 π$

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5. 在 $△ A B C$ 中，D为线段 $A B$ 上一点，且 $B D = 3 A D$ ，若 $\vec{C D} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{c}{a + b} + \frac{b}{a + c} = 1$ ，则下列说法不一定成立的是（）

A、 $△ A B C$ 可能为正三角形 B、角 $A ， B ， C$ 为等差数列 C、角B可能小于 $\frac{π}{3}$ D、角 $B + C$ 为定值

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，若将其图象沿x轴向右平移m（ $m > 0$ ）个单位，所得图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则实数m的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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8. 函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) cos x (- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3：1取得胜利的概率为（）

A、0.162 B、0.18 C、0.168 D、0.174

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10. 知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在 $C$ 的右支上， $M F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $△ M A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 切于点 $B$ .若 $| F_{1} F_{2} | = 4 | A B |$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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11. 将正整数20分解成两个正整数的乘积有 $1 \times 20$ ， $2 \times 10$ ， $4 \times 5$ 三种，其中 $4 \times 5$ 是这三种分解中两数差的绝对值最小的.我们称 $4 \times 5$ 为20的最佳分解.当 $p \times q$ （ $p \leq q$ 且 $p ， q \in N_{+}$ ）是正整数n的最佳分解时，定义函数 $f (n) = q - p$ ，则数列 ${f (3^{n})} (n \in N_{+})$ 的前100项和 $S_{100}$ 为（）

A、 $3^{50} + 1$ B、 $3^{50} - 1$ C、 $\frac{3^{50} - 1}{2}$ D、 $\frac{3^{50} + 1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln (e^{| 2 x | - 4} + 1)$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} a + x - 2 ， x \geq 0 \\ a - x - 2 ， x < 0 \end{array}$ ，若存在 $a \in [n ， n + 1] (n \in Z)$ ，使得方程 $f (x) = g (x)$ 有四个不同的实根，则n的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 执行如图所示的框图程序，输出的结果 $S =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2}$ ， $m = f (\log_{2} \frac{1}{3})$ ， $n = f (7^{- 0.1})$ ， $p = f (\log_{4} 25)$ ，则m，n，p的大小关系是.

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15. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\cos (α - \frac{5 π}{6})}{\tan (\frac{π}{3} - α)} =$ .

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三、双空题

16. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = \frac{3}{2}$ ， $A D = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，已知P是矩形 $A B C D$ 内一动点， $P A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，设P点形成的轨迹长度为 $α$ ，则 $\tan α =$ ；当 $C_{1} P$ 的长度最短时，三棱锥 $D_{1} - D P C$ 的外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} a_{n + 1} = 2^{p n + 1}$ （p $p$ 为常数）.

(1)、若 $- a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等差数列，求p的值.

(2)、是否存在p，使得 ${a_{n}}$ 为等比数列？若存在，求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；若不存在，请说明理由.

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18. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 为菱形，且 $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $A C ⊥ C C_{1}$ .

（Ⅰ）求证：平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

（Ⅱ）求 $B B_{1}$ 与平面 $A B C$ 的夹角正弦值.

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19. 在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.

(1)、若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；

(2)、在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为 $P_{n} = P_{1} {(\frac{9}{10})}^{n - 1} + \frac{n - 1}{10} (n = 1 ， 2 ， 3)$ ，其中 $P_{i}$ 表示第 $i$ 个出场选手解密成功的概率，并且 $P_{1}$ 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.
①求该团队挑战成功的概率；

②该团队以 $P_{i}$ 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望.

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20. 在直角坐标系xOy上取两个定点A₁（ $- \sqrt{6}$ ，0），A₂（ $\sqrt{6}$ ，0），再取两个动点N₁（0，m），N₂（0，n），且mn＝2.

(1)、求直线A₁N₁与A₂N₂交点M的轨迹C的方程；

(2)、过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若 $\vec{R P} = λ \vec{R Q}$ （λ＞1），求证： $\vec{N F} = λ \vec{F Q}$ .

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21. 已知 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} + 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $| \frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} | > m x_{1} x_{2}$ ，求实数m的取值范围.

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22. 在极坐标系中，曲线 $C ： ρ = 4 \cos θ$ ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到曲线 $C^{'}$ .

（Ⅰ）求曲线 $C^{'}$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C与曲线 $C^{'}$ 的公共部分面积.

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23. 已知 $f (x) = k | x | + | x - 1 | .$
（Ⅰ）若 $k = 2$ ，解不等式 $f (x) \leq 5$ .

（Ⅱ）若关于x的不等式 $f (x) \leq | x + 1 | + | 2 x - 2 |$ 的充分条件是 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，求k的取值范围.

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