江西省名师联盟2020届高三5月联考理科数学试题

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 全集 $U = R$ ，集合 $A = {y | y = \log_{3} x, x > 3}$ ， $B = {x | x \geq | \bar{z} |, z = \sqrt{3} + i}$ （i为虚数单位），下列成立的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $C_{U} A \cap B = U$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cap (C_{U} B) \neq \emptyset$

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2. 下图为《算法统宗》中的“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示 $5 \sqrt{2}$ ，当内方的边长为5时，外方的边长为 $5 \sqrt{2}$ ，略大于7．在外方内随机掷100粒黄豆，则位于内方的黄豆数约为（）

A、50 B、55 C、60 D、65

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3. 新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（）

A、样本容量为240 B、若样本中对平台三满意的人数为40，则 $m = 40 %$ C、总体中对平台二满意的消费者人数约为300 D、样本中对平台一满意的人数为24人

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4. 设不同直线 $l_{1} : x - m y + 1 = 0$ ， $l_{2} : (m - 1) x - 2 y - 2 = 0$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $l_{1} // l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = 6$ ， $a_{4} + a_{6} = 12$ ，则 $\frac{S_{2020}}{2020} =$ （）

A、 $\frac{2023}{2}$ B、1011 C、 $\frac{2021}{2}$ D、1010

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6. $(2 x^{2} - n) {(x - \frac{2}{x})}^{3}$ 的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为（）

A、-66 B、-18 C、18 D、66

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7. 小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据① $B C = 10 m$ ，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④ $\cos ∠ B A C = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ，⑤ $∠ B O C = 30 °$ 中选取合适的，计算出旗杆的高度为（）

A、 $9 \sqrt{3} m$ B、10m C、 $10 \sqrt{2} m$ D、 $10 \sqrt{3} m$

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ，函数 $g (x) = [f (x)]$ ，则下列命题中真命题的个数是（）
① $g (x)$ 图象关于 $x = 0$ 对称；② $f (x)$ 是奇函数；③ $f (x)$ 在R上是增函数；④ $g (x)$ 的值域是 ${- 1, 0, 1}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，集合 $M = {(x_{0} ， f (x_{0})) | f^{'} (x_{0}) = 0 ， \begin{matrix} \end{matrix}$ $x_{0} \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})}$ ，中有且仅有1个元素，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $ω \in (\frac{3}{2} ， \frac{11}{2}) \cup (7 ， \frac{15}{2})$ B、 $ω \in (\frac{3}{2} ， 3) \cup (\frac{7}{2} ， \frac{13}{2}) \cup (7 ， \frac{15}{2})$ C、 $ω \in (\frac{3}{2} ， 3) \cup (\frac{7}{2} ， \frac{11}{2}] \cup [7 ， \frac{15}{2}]$ D、 $ω \in (\frac{3}{2} ， 3) \cup (\frac{7}{2} ， \frac{13}{2}] \cup [7 ， \frac{15}{2}]$

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10. 已知过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则 $\frac{1}{| P M |} + \frac{9}{| Q N |}$ 的值不可能为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， 0 < x \leq e ， \\ f (2 e - x) ， e < x < 2 e ， \end{array}$ 函数 $g (x) = f (x) - 3^{- x} - m (m \in R)$ 的四个零点从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，对满足条件的任意一组零点，下列判断中一定成立的是（）

A、 $e^{2} < x_{3} x_{4} < {(2 e - 1)}^{2}$ B、 $0 < (2 e - x_{3}) (2 e - x_{4}) < 1$ C、 $x_{1} + x_{2} = 2$ D、 $1 < x_{1} x_{2} < e^{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ ： $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2^{2}}$ ， $\frac{2}{2^{2}}$ ， $\frac{3}{2^{2}}$ ， $\frac{1}{2^{3}}$ ，. $\frac{2}{2^{3}}$ .， $\frac{3}{2^{3}}$ ， $\frac{4}{2^{3}}$ ， $\frac{5}{2^{3}}$ ， $\frac{6}{2^{3}}$ ， $\frac{7}{2^{3}}$ ， $\frac{1}{2^{4}}$ ， $\frac{2}{2^{4}}$ …的前n项和为 $S_{n}$ ，正整数 $n_{1}$ ， $n_{2}$ 满足：① $a_{n_{1}} = \frac{2^{11} - 1}{2^{11}}$ ，② $n_{2}$ 是满足不等式 $S_{n} > 1019$ 的最小正整数，则 $n_{1} + n_{2} =$ （）

A、6182 B、6183 C、6184 D、6185

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二、填空题

13. 当实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x \geq 0 ， \\ 3 x + y \leq 4 ， \\ x + 3 y \geq 4 \end{array}$ 时，恒有 $a (x + 1) \geq 2 y$ ，则实数a的取值范围是．

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $| \vec{b} + x \vec{a} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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15. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点P，过双曲线中心O的直线交双曲线于A、B两不同（点A，B异于点P）．设直线PA、PB的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，当 $\frac{6}{k_{1}} \cdot \frac{1}{k_{2}} + \ln k_{1}^{2} + \ln k_{2}^{2}$ 最小时，双曲线的离心率为．

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16. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A D ⊥ B C$ ， $A D = 8$ ， $B C = 2$ ， $A B + B D = A C + C D = 10$ ，则三棱锥ABCD体积的最大值是．

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三、解答题

17. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为12， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于 $O$ 点，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，得到三棱锥 $B - A C D$ ，点M是棱 $B C$ 的中点， $D M = 6 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ O D$ ；

(2)、求二面角 $M - A D - C$ 的余弦值．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{4}$ ， $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于 $D$ ，设 $∠ C B D = θ$ ，且 $\sin θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\frac{B C}{A B}$ 值；

(2)、若 $S_{△ A B C} = 14$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．出现的新型冠状病毒（nCoV）是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标A．现从采集的血液样品中抽取500份检测指标A的值，由测量结果得下侧频率分布直方图：

(1)、求这500份血液样品指标A值的平均数 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组数据用该区间的中点值作代表，记作 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， \dots ， 7)$ ）；

(2)、由频率分布直方图可以认为，这项指标 $A$ 的值X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ．在统计学中，把发生概率小于3‰的事件称为小概率事件（正常条件下小概率事件的发生是不正常的）．该医院非常关注本院医生健康状况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标A的值，结果发现4名医生血液中指标A的值大于正常值20.03，试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由．
附：参考数据与公式： $\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - {\bar{x}}^{2}) h_{i} = 3.46$ ， $\sqrt{6.92} \approx 2.63$ ， $3.46 \approx \frac{1}{2} \times {2.63}^{2}$ ；若 $x \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则① $P (μ - σ < x \leq μ + σ) = 0.6826$ ；② $P (μ - 2 σ < x \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < x \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ． ${0.1587}^{4} \approx 0.006$ ， ${0.1587}^{6} \approx 0.000016$ ， ${0.8413}^{14} \approx 0.0890$ ， ${0.8413}^{16} \approx 0.0630$ ．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足 $\vec{A F} = 5 \vec{F B}$ ，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为 $6 \sqrt{5}$ ．过点 $T (t, m)$ 的直线TA，TB与此椭圆分别交于点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ ，其中 $m > 0$ ， $y_{1} > 0$ ， $y_{2} < 0$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、当T在直线 $x = 3 a$ 时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

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21. 已知 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \frac{5}{2} x (x - \ln x)$ ．

(1)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) > g (x)$ ；

(2)、已知点 $A (x ， - f (x))$ ，点 $B (\sin x ， \cos x)$ ，O为坐标原点，函数 $h (x) = \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ，请判断：当 $x \in [- \frac{π}{2} ， π]$ 时 $h (x)$ 的零点个数．

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22. 已知曲线C的极坐标方程是 $ρ = 1$ ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = \sqrt{2} x ， \\ y^{'} = y \end{array}$ 得到曲线E，直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （t为参数）与曲线E交于A，B两点．

(1)、设曲线C上任一点为 $M (x ， y)$ ，求 $x - 3 y$ 的最小值；

(2)、求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长．

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23. 函数 $f (x) = | x + a | + | x - b | + c$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ．

(1)、当 $a = b = c = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为3，求证： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} \geq 3$ ．

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