江西省红色七校2019-2020学年高三理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $z = - 1 + i$ （i是虚数单位），则z的模为（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

查看试题解析
2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x | x ⩾ 2}$ ，则 $A \cap^{} (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${x | x < 2}$ D、 ${x | - 1 ⩽ x < 2}$

查看试题解析
3. 命题“ $\exists α \in R$ ， $sin α = 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists α \in R$ ， $sin α \neq 0$ B、 $\forall α \in R$ ， $sin α \neq 0$ C、 $\forall α \in R$ ， $sin α < 0$ D、 $\forall α \in R$ ， $sin α > 0$

查看试题解析
4. 下列函数中，既是奇函数又在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = sin x$ B、 $y = | x |$ C、 $y = - x^{3}$ D、 $y = ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

查看试题解析
5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 2 S_{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\pm$ 1 D、2

查看试题解析
6. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则 $△ P F Q$ 的周长的最小值为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

查看试题解析
7. 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）

A、18种 B、9种 C、6种 D、3种

查看试题解析
8. 为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量 $x$ （分钟），这个区间上的人数为y（人），易见两变量x，y线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（）

A、 $(1.5 ， 0.10)$ B、 $(2.5 ， 0.25)$ C、 $(2.5 ， 250)$ D、 $(3 ， 300)$

查看试题解析
9. 单位正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} O$ 在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点 $M (a ， a ， 0)$ ， $N (0 ， b ， 1)$ ，其中 $0 < a \leq 1$ ， $0 \leq b \leq 1$ ，设由M，N，O三点确定的平面截该正方体的截面为E，那么（）

A、对任意点M，存在点N使截面E为三角形 B、对任意点M，存在点N使截面E为正方形 C、对任意点M和N，截面E都为梯形 D、对任意点N，存在点M使得截面E为矩形

查看试题解析
10. 设 $a = \log_{4} 3$ ， $b = \log_{5} 2$ ， $c = \log_{8} 5$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
11. 已知F是双曲线 $E_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段 $F B$ 的中点，且C是线段 $A B$ 的中点，则直线 $O C$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

查看试题解析
12. 函数 $f (x) = e^{x - 1} - e^{- x + 1} + a \sin π x$ （ $x \in R$ ，e是自然对数的底数， $a > 0$ ）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{π}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{π})$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2)$

查看试题解析

二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - sin B sin C$ ，则角A的大小为．

查看试题解析
14. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则不等式 $f (2 x - 1) > f (x - 2)$ 的解集为．

查看试题解析
15. 已知各项都为正数的数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，则 $a_{n} =$ .

查看试题解析
16. A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，C是劣弧 $A B$ （包含端点）上一动点，若 $\overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + μ \overset{⇀}{O B}$ $(λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - \cos^{2} ω x + \frac{1}{2}$ $(ω > 0)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的零点，且 $| x_{2} - x_{1} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ .
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；

（Ⅱ）设 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $f (\frac{1}{2} α + \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ， $f (\frac{1}{2} β - \frac{5 π}{12}) = - \frac{5}{13}$ ，求 $\cos (α - β)$ 的值.

查看试题解析
18. 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布 $N (500, 5^{2})$ （单位：g）.
（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 $485 g$ 的概率约为多少？

（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 $485 g$ ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.

附： $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9974$ .

查看试题解析
19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $A A_{1} = A B$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

（I）若E为 $A B_{1}$ 上的一点，且 $D E$ 与直线 $C D$ 垂直，求 $\frac{E B_{1}}{A B_{1}}$ 的值；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 所成的角为45°，求直线 $D E$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，其焦点到准线的距离为2，直线 $l$ 与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点M.
（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $△ M A B$ 面积的最小值.

查看试题解析
21. 已知 $x = 1$ 是函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{x}{2} - x ln x$ 的极值点.
（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求证：函数 $f (x)$ 存在唯一的极小值点 $x_{0}$ ，且 $0 < f (x_{0}) < \frac{7}{16}$ .

（参考数据： $ln 2 \approx 0.69$ ， $16 e^{5} < 7^{4}$ ，其中e为自然对数的底数）

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 过原点且倾斜角为 $α (0 ⩽ α < \frac{π}{2})$ .以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 关于直线 $y = x$ 对称.
（Ⅰ）求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线 $l_{2}$ 过原点且倾斜角为 $α + \frac{π}{3}$ ，设直线 $l_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于O，A两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 相交于O，B两点，当 $α$ 变化时，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x + a |$ .
（Ⅰ）当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集；

（Ⅱ）当不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $R$ 时，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析